área x=y^2,x=2y — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

x = y^{2}

x = 2 y

Nas interseções,

y^{2}

2 y

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

y^{2} - 2 y = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

y^{2} - 2 y = 0

⇥Podemos fatorizar a expressão

y^{2} - 2 y

como

y \cdot (y - 2)

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1.1) Vamos resolver em

ℝ

y = 0

⇥⇥Solução obtida:

y = 0

⇥⇥1.1.2) Vamos resolver em

ℝ

y - 2 = 0

⇥⇥Solução encontrada:

y = 2

A área entre

y^{2}

2 y

[0; 2]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[0; 2]

2 y

está à direita de

y^{2}

: vamos integrar

- y^{2} + 2 y

em relação a

y

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int_{0}^{2} (- y^{2} + 2 y) d y

⇥ⅰ

\int (- y^{2} + 2 y) d y

- \int y^{2} d y + \int 2 y d y

⇥

- \int y^{2} d y + \int 2 y d y

⇥ⓘ Uma primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int y^{2} d y

- \frac{y^{3}}{3}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 2 y d y

2 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥

- \frac{y^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{2 y^{2}}{2}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 y^{2}}{2}

y^{2}

▷

- \frac{y^{3}}{3} + y^{2}

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[0; 2]

(2^{2} - \frac{2^{3}}{3}) - (0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

- 0^{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥

4

- \frac{8}{3}

- 0^{2}

+ \frac{0^{3}}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

4 - \frac{8}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3}

■Somar 0 não altera o valor:

0 + 0

0

⇥

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3} + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3} + 0

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{12 - 8}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 - 8

4

⇥

\frac{4}{3}

A área em

[0; 2]

vale

\frac{4}{3}

▶Área:

\frac{4}{3}

2) O valor numérico de:

\frac{4}{3}

é:

▷

\approx 1,3333