área x^2-2,0,-2,2 — solução passo a passo

1) A área entre

x^{2} - 2

0

[-2; 2]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Vamos dividir o intervalo nas interseções interiores:

(-2; - \sqrt{2}; \sqrt{2}; 2)

[-2; - \sqrt{2}]

x^{2} - 2

está acima de

0

: vamos integrar

x^{2} - 2

⇥1.1) Vamos integrar:

\int_{-2}^{- \sqrt{2}} (x^{2} - 2) d x

⇥ⅰ

\int (x^{2} - 2) d x

\int x^{2} d x - \int 2 d x

⇥

\int x^{2} d x - \int 2 d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

- 2 x

-2

, pelo que

- 2 x

é uma primitiva de

-2

- \int 2 d x

- 2 x

▷

\frac{x^{3}}{3} - 2 x

⇥1.2) Vamos avaliar no intervalo

[-2; - \sqrt{2}]

(\frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \cdot (- \sqrt{2})) - (\frac{{(-2)}^{3}}{3} - 2 \cdot (-2))

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Com um expoente inteiro par, o sinal de menos da base desaparece; com um expoente inteiro ímpar, passa para a frente da potência:

{(- \sqrt{2})}^{3}

- {(\sqrt{2})}^{3}

■Extraímos os sinais de menos: um número par de sinais de menos anula-se e um número ímpar deixa um sinal de menos:

- 2 \cdot (- \sqrt{2})

2 \cdot \sqrt{2}

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{{(-2)}^{3}}{3} - 2 \cdot (-2))

- \frac{{(-2)}^{3}}{3} + 2 \cdot (-2)

⇥

- \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3}

+ 2 \cdot \sqrt{2}

- \frac{{(-2)}^{3}}{3}

+ 2 \cdot (-2)

⇥ⓘ Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-2)

-4

⇥

- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3}

+ 2 \cdot \sqrt{2}

- (\frac{-8}{3})

- 4

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-8}{3})

\frac{8}{3}

⇥

- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{3}

+ 2 \cdot \sqrt{2}

+ \frac{8}{3}

- 4

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações:

2^{\frac{3}{2}}

2 \cdot \sqrt{2}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{8}{3} - 4

\frac{8 - 4 \cdot 3}{3}

⇥

- \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2} + \frac{8 - 4 \cdot 3}{3}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3} + \frac{8 - 12}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 - 12

-4

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

A área em

[-2; - \sqrt{2}]

vale

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

0

está acima de

x^{2} - 2

: vamos integrar

- x^{2} + 2

⇥1.3) Vamos calcular a integral:

\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (- x^{2} + 2) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + 2) d x

- \int x^{2} d x + \int 2 d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int 2 d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

2 x

2

, pelo que

2 x

é uma primitiva de

2

\int 2 d x

2 x

▷

- \frac{x^{3}}{3} + 2 x

⇥1.4) Vamos avaliar no intervalo

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

(2 \cdot \sqrt{2} - \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3}) - (2 \cdot (- \sqrt{2}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})

⇥ⓘ Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 \cdot (- \sqrt{2}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})

- 2 \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥

2 \cdot \sqrt{2}

- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3}

- 2 \cdot (- \sqrt{2})

+ \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■Dois sinais de menos anulam-se:

-2 \cdot (- \sqrt{2})

2 \cdot \sqrt{2}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}

\frac{- 2^{\frac{3}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥

2 \cdot \sqrt{2} + \frac{- 2^{\frac{3}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ Sem parênteses, o sinal de menos não faz parte da potência:

- 2^{\frac{3}{2}}

- 2 \cdot \sqrt{2}

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 \cdot \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2}

4 \cdot \sqrt{2}

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Com um expoente inteiro par, o sinal de menos da base desaparece; com um expoente inteiro ímpar, passa para a frente da potência:

{(- \sqrt{2})}^{3}

- {(\sqrt{2})}^{3}

⇥

4 \cdot \sqrt{2} + \frac{- 2 \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 2 \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{3}

- (2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3})

⇥

4 \cdot \sqrt{2} - \frac{2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥ⅰ

4 \cdot \sqrt{2} - \frac{2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3}}{3}

\frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} - (2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3})}{3}

⇥

\frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} - (2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3})}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3})

- 2 \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{3}

⇥

\frac{12 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

12 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2}

10 \cdot \sqrt{2}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{10 \cdot \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{10 \cdot \sqrt{2} - 2^{\frac{3}{2}}}{3}

\frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 - 1)}{3}

⇥

\frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 - 1)}{3}

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

5 - 1

4

⇥

\frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 4}{3}

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

A área em

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

vale

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

[\sqrt{2}; 2]

x^{2} - 2

está acima de

0

: vamos integrar

x^{2} - 2

⇥1.5) Vamos integrar:

\int_{\sqrt{2}}^{2} (x^{2} - 2) d x

⇥ⅰ

\int (x^{2} - 2) d x

\int x^{2} d x - \int 2 d x

⇥

\int x^{2} d x - \int 2 d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

- 2 x

-2

, pelo que

- 2 x

é uma primitiva de

-2

- \int 2 d x

- 2 x

▷

\frac{x^{3}}{3} - 2 x

⇥1.6) Vamos avaliar no intervalo

[\sqrt{2}; 2]

(\frac{2^{3}}{3} - 2 \cdot 2) - (\frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \cdot \sqrt{2})

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \cdot \sqrt{2})

- \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥

\frac{8}{3}

- 4

- \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3}

+ 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{8}{3} - 4

\frac{8 - 4 \cdot 3}{3}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{8 - 4 \cdot 3}{3} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

■Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

⇥

\frac{8 - 12}{3} - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 - 12

-4

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações:

2^{\frac{3}{2}}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

- \frac{4}{3} - \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥

- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

\frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥

\frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

A área em

[\sqrt{2}; 2]

vale

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3} + \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3} + \frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3} + \frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4)}{3}

⇥

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4)}{3} + \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4)}{3} + \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4) + 8 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4) + 8 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4)

8 \cdot \sqrt{2} - 8

⇥

\frac{8 \cdot \sqrt{2} - 8 + 8 \cdot \sqrt{2}}{3}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

8 \cdot \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2}

16 \cdot \sqrt{2}

▶Área:

\frac{16 \cdot \sqrt{2} - 8}{3}

2) O valor numérico de:

\frac{16 \cdot \sqrt{2} - 8}{3}

vale:

\frac{16 \cdot \approx 1,4142 - 8}{3}

\frac{\approx 22,6274 - 8}{3}

\frac{\approx 14,6274}{3}

▷

\approx 4,8758