área x^2-2x,x+4 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = x^{2} - 2 x

y = x + 4

Nas interseções,

x^{2} - 2 x

x + 4

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

(x^{2} - 2 x) - (x + 4)

= 0, ou seja,

x^{2} - 3 x - 4 = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 3 x - 4 = 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -3

c = -4

⇥

Δ = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

⇥

Δ = 9 - 4 \cdot (-4)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-4)

16

⇥

Δ = 9 + 16

⇥ⓘ Partimos de

9

e avançamos

16

na reta numérica:

9 + 16

25

⇥

Δ = 25

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

⇥

x_{1} = \frac{3 - 5}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 - 5

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

⇥

x_{2} = \frac{3 + 5}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 + 5

8

⇥

x_{2} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

⇥

x_{2} = 4

⇥Soluções encontradas:

x = {-1; 4}

A área entre

x^{2} - 2 x

x + 4

[-1; 4]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[-1; 4]

x + 4

está acima de

x^{2} - 2 x

: vamos integrar

- x^{2} + 3 x + 4

⇥1.2) Vamos integrar:

\int_{-1}^{4} (- x^{2} + 3 x + 4) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + 3 x + 4) d x

- \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 3 x d x

3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

■A derivada de

4 x

4

, pelo que

4 x

é uma primitiva de

4

\int 4 d x

4 x

⇥

- \frac{x^{3}}{3} + 3 \cdot \frac{x^{2}}{2} + 4 x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{3 x^{2}}{2}

▷

- \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 4 x

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 4]

(- \frac{4^{3}}{3} + \frac{3 \cdot 4^{2}}{2} + 4 \cdot 4) - (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{3 \cdot {(-1)}^{2}}{2} + 4 \cdot (-1))

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

4^{2}

4 \cdot 4

16

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{3 \cdot {(-1)}^{2}}{2} + 4 \cdot (-1))

\frac{{(-1)}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot {(-1)}^{2}}{2} - 4 \cdot (-1)

⇥

- \frac{64}{3}

+ \frac{3 \cdot 16}{2}

+ 16

+ \frac{{(-1)}^{3}}{3}

- \frac{3 \cdot {(-1)}^{2}}{2}

- 4 \cdot (-1)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

3 \cdot 1

3

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-4 \cdot (-1)

4

⇥ⅰ

3 \cdot 16

3 \cdot (10 + 6)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 6

30 + 18

48

⇥

- \frac{64}{3}

+ \frac{48}{2}

+ 16

- \frac{1}{3}

- \frac{3}{2}

+ 4

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

6

, o mínimo múltiplo comum de

3

2

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

- \frac{64}{3} + \frac{48}{2}

\frac{-64 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{48 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{- 64 \cdot 2 + 48 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥

\frac{- 64 \cdot 2 + 48 \cdot 3}{3 \cdot 2}

+ 16

- \frac{1}{3}

- \frac{3}{2}

+ 4

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

64 \cdot 2

(60 + 4) \cdot 2

60 \cdot 2 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

48 \cdot 3

(40 + 8) \cdot 3

40 \cdot 3 + 8 \cdot 3

120 + 24

144

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

16 - \frac{1}{3}

\frac{3 \cdot 16 - 1}{3}

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{- 128 + 144}{6}

+ \frac{3 \cdot 16 - 1}{3}

- \frac{3}{2}

+ 4

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 128 + 144

16

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 16

3 \cdot (10 + 6)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 6

30 + 18

48

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{3}{2} + 4

\frac{- 3 + 4 \cdot 2}{2}

⇥

\frac{16}{6} + \frac{48 - 1}{3} + \frac{- 3 + 4 \cdot 2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{16}{6}

\frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{8}{3}

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

48 - 1

47

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

⇥

\frac{8}{3} + \frac{47}{3} + \frac{- 3 + 8}{2}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{8}{3} + \frac{47}{3}

\frac{8 + 47}{3}

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 + 8

5

⇥

\frac{8 + 47}{3} + \frac{5}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 + 47

55

⇥

\frac{55}{3} + \frac{5}{2}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

6

, o mínimo múltiplo comum de

3

2

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{55}{3} + \frac{5}{2}

\frac{55 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{55 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥

\frac{55 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

55 \cdot 2

(50 + 5) \cdot 2

50 \cdot 2 + 5 \cdot 2

100 + 10

110

5 \cdot 3

15

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{110 + 15}{6}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

110 + 15

125

⇥

\frac{125}{6}

A área em

[-1; 4]

vale

\frac{125}{6}

▶Área:

\frac{125}{6}

2) O valor numérico de:

\frac{125}{6}

é:

▷

\approx 20,8333