área x^2,0,-1,1 — solução passo a passo

1) A área entre

x^{2}

0

[-1; 1]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Vamos dividir o intervalo nas interseções interiores:

(-1; 0; 1)

[-1; 0]

x^{2}

está acima de

0

: vamos integrar

x^{2}

⇥1.1) Vamos calcular a integral:

\int_{-1}^{0} x^{2} d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

▷

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.2) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 0]

\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(-1)}^{3}}{3}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

⇥

0 - (\frac{-1}{3})

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - (\frac{-1}{3})

- (\frac{-1}{3})

■Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-1}{3})

\frac{1}{3}

⇥

\frac{1}{3}

A área em

[-1; 0]

vale

\frac{1}{3}

[0; 1]

x^{2}

está acima de

0

: vamos integrar

x^{2}

⇥1.3) Vamos integrar:

\int_{0}^{1} x^{2} d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

▷

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.4) Vamos avaliar no intervalo

[0; 1]

\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}

⇥

\frac{1}{3} + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{1}{3} + 0

\frac{1}{3}

⇥

\frac{1}{3}

A área em

[0; 1]

vale

\frac{1}{3}

⇥

\frac{1}{3} + \frac{1}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{3} + \frac{1}{3}

\frac{1 + 1}{3}

⇥

\frac{1 + 1}{3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 1

2

▶Área:

\frac{2}{3}

2) O valor numérico de:

\frac{2}{3}

vale:

▷

\approx 0,6667