área x^2,1,-2,2 — solução passo a passo

1) A área entre

x^{2}

1

[-2; 2]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Vamos dividir o intervalo nas interseções interiores:

(-2; -1; 1; 2)

[-2; -1]

x^{2}

está acima de

1

: vamos integrar

x^{2} - 1

⇥1.1) Vamos calcular a integral:

\int_{-2}^{-1} (x^{2} - 1) d x

⇥ⅰ

\int (x^{2} - 1) d x

\int x^{2} d x - \int 1 d x

⇥

\int x^{2} d x - \int 1 d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

- x

-1

, pelo que

- x

é uma primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

▷

\frac{x^{3}}{3} - x

⇥1.2) Vamos avaliar no intervalo

[-2; -1]

(\frac{{(-1)}^{3}}{3} + 1) - (\frac{{(-2)}^{3}}{3} + 2)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{{(-2)}^{3}}{3} + 2)

- \frac{{(-2)}^{3}}{3} - 2

⇥

- \frac{1}{3}

+ 1

- \frac{{(-2)}^{3}}{3}

- 2

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{1}{3} + 1

\frac{- 1 + 3}{3}

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

⇥

\frac{- 1 + 3}{3} - (\frac{-8}{3}) - 2

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 3

2

■Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-8}{3})

\frac{8}{3}

⇥

\frac{2}{3} + \frac{8}{3} - 2

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2}{3} + \frac{8}{3}

\frac{2 + 8}{3}

⇥

\frac{2 + 8}{3} - 2

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 8

10

⇥

\frac{10}{3} - 2

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{10}{3} - 2

\frac{10 - 2 \cdot 3}{3}

⇥

\frac{10 - 2 \cdot 3}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 3

6

⇥

\frac{10 - 6}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

10 - 6

4

⇥

\frac{4}{3}

A área em

[-2; -1]

vale

\frac{4}{3}

[-1; 1]

1

está acima de

x^{2}

: vamos integrar

- x^{2} + 1

⇥1.3) Vamos calcular a integral:

\int_{-1}^{1} (- x^{2} + 1) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + 1) d x

- \int x^{2} d x + \int 1 d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int 1 d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

▷

- \frac{x^{3}}{3} + x

⇥1.4) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 1]

(1 - \frac{1^{3}}{3}) - (- 1 - \frac{{(-1)}^{3}}{3})

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

1 - \frac{1}{3}

\frac{3 - 1}{3}

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- 1 - \frac{{(-1)}^{3}}{3})

1 + \frac{{(-1)}^{3}}{3}

⇥

\frac{3 - 1}{3} + 1 + \frac{{(-1)}^{3}}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 - 1

2

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

⇥

\frac{2}{3} + 1 - \frac{1}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2}{3} + 1

\frac{2 + 3}{3}

⇥

\frac{2 + 3}{3} - \frac{1}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 3

5

⇥

\frac{5}{3} - \frac{1}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{5}{3} - \frac{1}{3}

\frac{5 - 1}{3}

⇥

\frac{5 - 1}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

5 - 1

4

⇥

\frac{4}{3}

A área em

[-1; 1]

vale

\frac{4}{3}

[1; 2]

x^{2}

está acima de

1

: vamos integrar

x^{2} - 1

⇥1.5) Vamos calcular a integral:

\int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x

⇥ⅰ

\int (x^{2} - 1) d x

\int x^{2} d x - \int 1 d x

⇥

\int x^{2} d x - \int 1 d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

- x

-1

, pelo que

- x

é uma primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

▷

\frac{x^{3}}{3} - x

⇥1.6) Vamos avaliar no intervalo

[1; 2]

(\frac{2^{3}}{3} - 2) - (\frac{1^{3}}{3} - 1)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{1^{3}}{3} - 1)

- \frac{1^{3}}{3} + 1

⇥

\frac{8}{3}

- 2

- \frac{1^{3}}{3}

+ 1

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{8}{3} - 2

\frac{8 - 2 \cdot 3}{3}

⇥

\frac{8 - 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} + 1

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 3

6

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{1}{3} + 1

\frac{- 1 + 3}{3}

⇥

\frac{8 - 6}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 - 6

2

- 1 + 3

2

⇥

\frac{2}{3} + \frac{2}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2}{3} + \frac{2}{3}

\frac{2 + 2}{3}

⇥

\frac{2 + 2}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 2

4

⇥

\frac{4}{3}

A área em

[1; 2]

vale

\frac{4}{3}

⇥

\frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{4}{3} + \frac{4}{3}

\frac{4 + 4}{3}

⇥

\frac{4 + 4}{3} + \frac{4}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 + 4

8

⇥

\frac{8}{3} + \frac{4}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{8}{3} + \frac{4}{3}

\frac{8 + 4}{3}

⇥

\frac{8 + 4}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 + 4

12

⇥

\frac{12}{3}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{12}{3}

4

▶Área:

4