área x,0,-1,1 — solução passo a passo

1) A área entre

x

0

[-1; 1]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Vamos dividir o intervalo nas interseções interiores:

(-1; 0; 1)

[-1; 0]

0

está acima de

x

: vamos integrar

- x

⇥1.1) Vamos calcular a integral:

\int_{-1}^{0} (- x) d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int (- x) d x

- \frac{x^{2}}{2}

▷

- \frac{x^{2}}{2}

⇥1.2) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 0]

- \frac{0^{2}}{2} + \frac{{(-1)}^{2}}{2}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

0 + \frac{1}{2}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{1}{2}

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2}

A área em

[-1; 0]

vale

\frac{1}{2}

[0; 1]

x

está acima de

0

: vamos integrar

x

⇥1.3) Vamos integrar:

\int_{0}^{1} x d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

▷

\frac{x^{2}}{2}

⇥1.4) Vamos avaliar no intervalo

[0; 1]

\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}

⇥

\frac{1}{2} + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{1}{2} + 0

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2}

A área em

[0; 1]

vale

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

\frac{1 + 1}{2}

⇥

\frac{1 + 1}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 1

2

⇥

\frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

▶Área:

1