área y=12-x^2,y=x^2-6 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = 12 - x^{2}

y = x^{2} - 6

Nas interseções,

12 - x^{2}

x^{2} - 6

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

(12 - x^{2}) - (x^{2} - 6)

= 0, ou seja,

18 - 2 x^{2} = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

18 - 2 x^{2} = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

-2

⇥

x^{2} = 9

⇥Os dois números cujo quadrado vale

9

são

-3

3

⇥Soluções encontradas:

x = {-3; 3}

A área entre

12 - x^{2}

x^{2} - 6

[-3; 3]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[-3; 3]

12 - x^{2}

está acima de

x^{2} - 6

: vamos integrar

18 - 2 x^{2}

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int_{-3}^{3} (18 - 2 x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (18 - 2 x^{2}) d x

\int 18 d x - \int 2 x^{2} d x

⇥

\int 18 d x - \int 2 x^{2} d x

⇥ⓘ A derivada de

18 x

18

, pelo que

18 x

é uma primitiva de

18

\int 18 d x

18 x

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int 2 x^{2} d x

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

18 x - 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{2 x^{3}}{3}

▷

18 x - \frac{2 x^{3}}{3}

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[-3; 3]

(18 \cdot 3 - \frac{2 \cdot 3^{3}}{3}) - (18 \cdot (-3) - \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3})

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

18 \cdot 3

(10 + 8) \cdot 3

10 \cdot 3 + 8 \cdot 3

30 + 24

54

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (18 \cdot (-3) - \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3})

- 18 \cdot (-3) + \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3}

⇥

54

- \frac{2 \cdot 27}{3}

- 18 \cdot (-3)

+ \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-18 \cdot (-3)

18 \cdot 3

(10 + 8) \cdot 3

10 \cdot 3 + 8 \cdot 3

30 + 24

54

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-3)}^{3}

(-3) \cdot (-3) \cdot (-3)

-27

⇥ⅰ

2 \cdot 27

2 \cdot (20 + 7)

2 \cdot 20 + 2 \cdot 7

40 + 14

54

⇥

54

- \frac{54}{3}

+ 54

+ \frac{2 \cdot (-27)}{3}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{54}{3}

-18

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-27)

- 2 \cdot 27

- 2 \cdot (20 + 7)

- (2 \cdot 20 + 2 \cdot 7)

- (40 + 14)

-54

⇥

54

- 18

+ 54

- \frac{54}{3}

⇥ⓘ Partimos de

54

e recuamos

18

na reta numérica:

54 - 18

36

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{54}{3}

-18

⇥

36 + 54 - 18

⇥ⓘ Partimos de

36

e avançamos

54

na reta numérica:

36 + 54

90

⇥

90 - 18

⇥ⓘ Partimos de

90

e recuamos

18

na reta numérica:

90 - 18

72

⇥

72

A área em

[-3; 3]

vale

72

▶Área:

72