área y=2x^2,y=2x+6 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = 2 x^{2}

y = 2 x + 6

Nas interseções,

2 x^{2}

2 x + 6

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

2 x^{2} - (2 x + 6)

= 0, ou seja,

2 x^{2} - 2 x - 6 = 0

Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} - 2 x - 6 = 0

Como

2 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

2

x^{2} - x - 3 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -3

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-3)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 1 + 12

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

12

na reta numérica:

1 + 12

13

Δ = 13

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}

Soluções obtidas:

x = {\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}}

A área entre

2 x^{2}

2 x + 6

[\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}]

2 x + 6

está acima de

2 x^{2}

: vamos integrar

- 2 x^{2} + 2 x + 6

Entre as suas raízes

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}

- 2 x^{2} + 2 x + 6

-2 \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

Com

u = x - x_{1}

d = x_{2} - x_{1}

, a integral de

(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

x_{1}

x_{2}

é a de

u \cdot (u - d)

de 0 a

d

\frac{d^{3}}{3} - \frac{d^{3}}{2} = - \frac{d^{3}}{6}

, pelo que a área vale

\frac{2 d^{3}}{6}

Vamos calcular

d = x_{2} - x_{1}

⇥

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} - \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

⇥ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

\frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}

⇥

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} + \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} + \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}

\frac{(1 + \sqrt{13}) + (- 1 + \sqrt{13})}{2}

⇥

\frac{(1 + \sqrt{13}) + (- 1 + \sqrt{13})}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 1

0

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

\sqrt{13} + \sqrt{13}

2 \cdot \sqrt{13}

⇥

\frac{0 + 2 \cdot \sqrt{13}}{2}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 2 \cdot \sqrt{13}

2 \cdot \sqrt{13}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 \cdot \sqrt{13}}{2}

\sqrt{13}

⇥

\sqrt{13}

Portanto, a área vale

\frac{2 d^{3}}{6}

⇥

\frac{2 \cdot {(\sqrt{13})}^{3}}{6}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 \cdot {(\sqrt{13})}^{3}}{6}

\frac{{(\sqrt{13})}^{3}}{3}

⇥

\frac{{(\sqrt{13})}^{3}}{3}

⇥ⓘ Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{13})}^{3}

13^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{13^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

⇥

\frac{13^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações:

13^{\frac{3}{2}}

13 \cdot \sqrt{13}

⇥

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

A área em

[\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}]

vale

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

▶Área:

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

2) O valor numérico de:

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

vale:

\frac{13 \cdot \approx 3,6056}{3}

\frac{\approx 46,8722}{3}

▷

\approx 15,6241