área y=4x^2,y=x^2+6 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = 4 x^{2}

y = x^{2} + 6

Nas interseções,

4 x^{2}

x^{2} + 6

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

4 x^{2} - (x^{2} + 6)

= 0, ou seja,

3 x^{2} - 6 = 0

Vamos resolver em

ℝ

3 x^{2} - 6 = 0

ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

x^{2} = 2

Os dois números cujo quadrado vale

2

são

- \sqrt{2}

\sqrt{2}

Soluções encontradas:

x = {- \sqrt{2}; \sqrt{2}}

A área entre

4 x^{2}

x^{2} + 6

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

x^{2} + 6

está acima de

4 x^{2}

: vamos integrar

- 3 x^{2} + 6

Entre as suas raízes

x_{1} = - \sqrt{2}

x_{2} = \sqrt{2}

- 3 x^{2} + 6

-3 \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

Com

u = x - x_{1}

d = x_{2} - x_{1}

, a integral de

(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

x_{1}

x_{2}

é a de

u \cdot (u - d)

de 0 a

d

\frac{d^{3}}{3} - \frac{d^{3}}{2} = - \frac{d^{3}}{6}

, pelo que a área vale

\frac{3 d^{3}}{6}

Vamos calcular

d = x_{2} - x_{1}

⇥

\sqrt{2} + \sqrt{2}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

\sqrt{2} + \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

2 \cdot \sqrt{2}

Portanto, a área vale

\frac{3 d^{3}}{6}

⇥

\frac{3 \cdot {(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{6}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{3 \cdot {(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{6}

\frac{{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{2}

⇥

\frac{{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{2}

⇥ⓘ A potência de um produto é o produto das potências:

{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}

2^{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{3}

⇥

\frac{2^{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{3}}{2}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{8 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{2}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{8 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2}

4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}

⇥

4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações:

2^{\frac{3}{2}}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

4 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⅰ

4 \cdot 2

8

⇥

8 \cdot \sqrt{2}

A área em

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

vale

8 \cdot \sqrt{2}

▶Área:

8 \cdot \sqrt{2}

2) O valor numérico de:

8 \cdot \sqrt{2}

vale:

8 \cdot \approx 1,4142

▷

\approx 11,3137