área y=6x,y=3x^2 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = 6 x

y = 3 x^{2}

Nas interseções,

6 x

3 x^{2}

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

6 x - 3 x^{2} = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

6 x - 3 x^{2} = 0

⇥Podemos fatorizar a expressão

6 x - 3 x^{2}

como

x \cdot (6 - 3 x)

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1.1) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥Solução obtida:

x = 0

⇥⇥1.1.2) Vamos resolver em

ℝ

6 - 3 x = 0

⇥⇥

3 x = 6

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

⇥⇥

x = \frac{6}{3}

⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{3}

2

⇥⇥Solução obtida:

x = 2

A área entre

6 x

3 x^{2}

[0; 2]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[0; 2]

6 x

está acima de

3 x^{2}

: vamos integrar

6 x - 3 x^{2}

⇥1.2) Vamos integrar:

\int_{0}^{2} (6 x - 3 x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (6 x - 3 x^{2}) d x

\int 6 x d x - \int 3 x^{2} d x

⇥

\int 6 x d x - \int 3 x^{2} d x

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 6 x d x

6 \cdot \frac{x^{2}}{2}

- \int 3 x^{2} d x

- 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

6 \cdot \frac{x^{2}}{2} - 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

6 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{6 x^{2}}{2}

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{3 x^{3}}{3}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 x^{2}}{2}

3 x^{2}

- \frac{3 x^{3}}{3}

- x^{3}

⇥

3 x^{2} - x^{3}

⇥Podemos fatorizar a expressão como:

x^{2} \cdot (3 - x)

▷

x^{2} \cdot (3 - x)

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[0; 2]

2^{2} \cdot (3 - 2) - 0^{2} \cdot (3 + 0)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

3 - 2

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

4 \cdot 1

4

■Somar 0 não altera o valor:

3 + 0

3

■Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot 3

0

⇥

4 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

4 + 0

4

⇥

4

A área em

[0; 2]

vale

4

▶Área:

4