área y=x+4,y=x^2+x-12 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = x + 4

y = x^{2} + x - 12

Nas interseções,

x + 4

x^{2} + x - 12

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

(x + 4) - (x^{2} + x - 12)

= 0, ou seja,

16 - x^{2} = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

16 - x^{2} = 0

⇥Os dois números cujo quadrado vale

16

são

-4

4

⇥Soluções encontradas:

x = {-4; 4}

A área entre

x + 4

x^{2} + x - 12

[-4; 4]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[-4; 4]

x + 4

está acima de

x^{2} + x - 12

: vamos integrar

16 - x^{2}

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int_{-4}^{4} (16 - x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (16 - x^{2}) d x

\int 16 d x - \int x^{2} d x

⇥

\int 16 d x - \int x^{2} d x

⇥ⓘ A derivada de

16 x

16

, pelo que

16 x

é uma primitiva de

16

\int 16 d x

16 x

■Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

▷

16 x - \frac{x^{3}}{3}

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[-4; 4]

(16 \cdot 4 - \frac{4^{3}}{3}) - (16 \cdot (-4) - \frac{{(-4)}^{3}}{3})

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

16 \cdot 4

(10 + 6) \cdot 4

10 \cdot 4 + 6 \cdot 4

40 + 24

64

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (16 \cdot (-4) - \frac{{(-4)}^{3}}{3})

- 16 \cdot (-4) + \frac{{(-4)}^{3}}{3}

⇥

64

- \frac{64}{3}

- 16 \cdot (-4)

+ \frac{{(-4)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

64 - \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 64 - 64}{3}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-16 \cdot (-4)

16 \cdot 4

(10 + 6) \cdot 4

10 \cdot 4 + 6 \cdot 4

40 + 24

64

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-4)}^{3}

(-4) \cdot (-4) \cdot (-4)

-64

⇥

\frac{3 \cdot 64 - 64}{3} + 64 - \frac{64}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 64

3 \cdot (60 + 4)

3 \cdot 60 + 3 \cdot 4

180 + 12

192

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

64 - \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 64 - 64}{3}

⇥

\frac{192 - 64}{3} + \frac{3 \cdot 64 - 64}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

192 - 64

128

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 64

3 \cdot (60 + 4)

3 \cdot 60 + 3 \cdot 4

180 + 12

192

⇥

\frac{128}{3} + \frac{192 - 64}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

192 - 64

128

⇥

\frac{128}{3} + \frac{128}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{128}{3} + \frac{128}{3}

\frac{128 + 128}{3}

⇥

\frac{128 + 128}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

128 + 128

256

⇥

\frac{256}{3}

A área em

[-4; 4]

vale

\frac{256}{3}

▶Área:

\frac{256}{3}

2) O valor numérico de:

\frac{256}{3}

vale:

▷

\approx 85,3333