área y=x^2-1,y=-x^2+1 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = x^{2} - 1

y = 1 - x^{2}

Nas interseções,

x^{2} - 1

1 - x^{2}

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

(x^{2} - 1) - (1 - x^{2})

= 0, ou seja,

2 x^{2} - 2 = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} - 2 = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

x^{2} = 1

⇥Os dois números cujo quadrado vale

1

são

-1

1

⇥Soluções obtidas:

x = {-1; 1}

A área entre

x^{2} - 1

1 - x^{2}

[-1; 1]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[-1; 1]

1 - x^{2}

está acima de

x^{2} - 1

: vamos integrar

- 2 x^{2} + 2

⇥1.2) Vamos integrar:

\int_{-1}^{1} (- 2 x^{2} + 2) d x

⇥ⅰ

\int (- 2 x^{2} + 2) d x

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 d x

⇥

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 d x

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int 2 x^{2} d x

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

2 x

2

, pelo que

2 x

é uma primitiva de

2

\int 2 d x

2 x

⇥

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 2 x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{2 x^{3}}{3}

▷

- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 1]

(2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^{3}}{3}) - (2 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

- 2 \cdot (-1) + \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

⇥

2

- \frac{2}{3}

- 2 \cdot (-1)

+ \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

2 - \frac{2}{3}

\frac{3 \cdot 2 - 2}{3}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-2 \cdot (-1)

2

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

\frac{3 \cdot 2 - 2}{3} + 2 - \frac{2}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 2

6

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

2 - \frac{2}{3}

\frac{3 \cdot 2 - 2}{3}

⇥

\frac{6 - 2}{3} + \frac{3 \cdot 2 - 2}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

6 - 2

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{4}{3} + \frac{6 - 2}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

6 - 2

4

⇥

\frac{4}{3} + \frac{4}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{4}{3} + \frac{4}{3}

\frac{4 + 4}{3}

⇥

\frac{4 + 4}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 + 4

8

⇥

\frac{8}{3}

A área em

[-1; 1]

vale

\frac{8}{3}

▶Área:

\frac{8}{3}

2) O valor numérico de:

\frac{8}{3}

vale:

▷

\approx 2,6667