área y=x^2,y=x+2 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = x^{2}

y = x + 2

Nas interseções,

x^{2}

x + 2

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

x^{2} - (x + 2)

= 0, ou seja,

x^{2} - x - 2 = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - x - 2 = 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ Partimos de

1

e avançamos

8

na reta numérica:

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 3

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

⇥Soluções encontradas:

x = {-1; 2}

A área entre

x^{2}

x + 2

[-1; 2]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[-1; 2]

x + 2

está acima de

x^{2}

: vamos integrar

- x^{2} + x + 2

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int_{-1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + x + 2) d x

- \int x^{2} d x + \int x d x + \int 2 d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int x d x + \int 2 d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

■A derivada de

2 x

2

, pelo que

2 x

é uma primitiva de

2

\int 2 d x

2 x

▷

- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 2]

(- \frac{2^{3}}{3} + \frac{2^{2}}{2} + 2 \cdot 2) - (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{{(-1)}^{2}}{2} + 2 \cdot (-1))

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{{(-1)}^{2}}{2} + 2 \cdot (-1))

\frac{{(-1)}^{3}}{3} - \frac{{(-1)}^{2}}{2} - 2 \cdot (-1)

⇥

- \frac{8}{3}

+ \frac{4}{2}

+ 4

+ \frac{{(-1)}^{3}}{3}

- \frac{{(-1)}^{2}}{2}

- 2 \cdot (-1)

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

6

, o mínimo múltiplo comum de

3

2

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

- \frac{8}{3} + \frac{4}{2}

\frac{-8 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{- 8 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 2}

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-2 \cdot (-1)

2

⇥

\frac{- 8 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 2}

+ 4

- \frac{1}{3}

- \frac{1}{2}

+ 2

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 2

16

4 \cdot 3

12

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

4 - \frac{1}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 1}{3}

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{- 16 + 12}{6}

+ \frac{3 \cdot 4 - 1}{3}

- \frac{1}{2}

+ 2

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 16 + 12

-4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{1}{2} + 2

\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

⇥

- \frac{4}{6} + \frac{12 - 1}{3} + \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{6}

- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}

- \frac{2}{3}

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 - 1

11

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

⇥

- \frac{2}{3} + \frac{11}{3} + \frac{- 1 + 4}{2}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{2}{3} + \frac{11}{3}

\frac{- 2 + 11}{3}

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 4

3

⇥

\frac{- 2 + 11}{3} + \frac{3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 + 11

9

⇥

\frac{9}{3} + \frac{3}{2}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

6

, o mínimo múltiplo comum de

3

2

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{9}{3} + \frac{3}{2}

\frac{9 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{9 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥

\frac{9 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

9 \cdot 2

18

3 \cdot 3

9

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{18 + 9}{6}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

18 + 9

27

⇥

\frac{27}{6}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{27}{6}

\frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{9}{2}

⇥

\frac{9}{2}

A área em

[-1; 2]

vale

\frac{9}{2}

▶Área:

\frac{9}{2}

2) O valor numérico de:

\frac{9}{2}

vale:

▷

4,5