1/2*(dy)/(dx)=(2x)/(3y) — solução passo a passo

⚠ 1/2*(dy)/(dx)=(2x)/(3y) é interpretado como 1/2*y'=(2x)/(3y): utilize dif(expression, variable) para uma derivada em relação a essa variável, utilize (numerador)/(denominador) para um quociente

Vamos resolver a equação separável

\frac{1}{2} \cdot y' = \frac{2 x}{3 y}

, onde

y

é uma função de

x

y \neq 0

Multiplicamos ambos os membros por

2

para isolar

y'

y' = \frac{4 x}{3 y}

Multiplicamos por

y

e separamos as variáveis:

y \cdot dy = \frac{4 x}{3} \cdot dx

⇥Vamos calcular a integral:

\int \frac{4 x}{3} d x

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int \frac{4 x}{3} d x

\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥

\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{4 x^{2}}{3 \cdot 2}

\frac{4 x^{2}}{6}

⇥

\frac{4 x^{2}}{6}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4 x^{2}}{6}

\frac{2 x^{2}}{3}

⇥

\frac{2 x^{2}}{3}

Integrando ambos os membros, obtemos

\frac{y^{2}}{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + C

, onde

C

é uma constante real arbitrária

Multiplicamos por

2

e renomeamos

2 C

como

C

y^{2} = \frac{4 x^{2}}{3} + C

Os dois ramos reais têm sinal fixo em cada intervalo onde o segundo membro inicial é real e

\frac{4 x^{2}}{3} + C

> 0, pelo que

y

= 0 fica excluído

▶Solução:

y = {- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{3} + C}; \sqrt{\frac{4 x^{2}}{3} + C}}