1/(sqrt(x^2-1))+3>= 0
1) Vamos resolver em ℝ: 1x2 -1 + 3 ≥ 0
ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores: 1x2 -1 + 3 = 1 + 3·x2 -1x2 -1
1 + 3·x2 -1x2 -1 ≥ 0
Estudamos o sinal do numerador
⇥1.1) Vamos estudar o sinal de 1 + 3·x2 -1 resolvendo em ℝ: 1 + 3·x2 -1 ≥ 0
⇥Isolamos a raiz: x2 -1 ≥ -13. Como uma raiz quadrada é sempre positiva ou nula, x2 -1 é maior que -13 onde está definida:
⇥A relação simplificada é sempre verdadeira; ainda é necessário respeitar o domínio da expressão inicial
⇥Portanto, a expressão 1 + 3·x2 -1 é sempre positiva ou nula
Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular
⇥1.2) Vamos estudar o sinal de x2 -1 resolvendo em ℝ: x2 -1 > 0
⇥x2 -1 > 0 implica: x2 -1 > 0
⇥Uma potência par só depende do valor absoluto: x2 > 1 equivale a |x| > 1
⇥|A| > B implica: A > B ou A < -B
2) Vamos construir o quadro de sinais:
x-∞ -1 1 +∞
1 + 3·x2 -1+++
x2 -1+0-0+
1x2 -1 + 3+❌-❌+
Candidatos, sujeitos ao domínio: x ∈ ]-∞ ; -1[ ∪ ]1 ; +∞[
3) Vamos procurar o domínio de 1x2 -1 + 3 ≥ 0
Para que a expressão 1x2 -1 + 3 ≥ 0 esteja definida, é necessário: x2 -1 > 0
Uma potência par só depende do valor absoluto: x2 > 1 equivale a |x| > 1
|A| > B implica: A > B ou A < -B
▶Solução:   x ∈ ]-∞ ; -1[ ∪ ]1 ; +∞[
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