114-36k-6k^2>0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

114 - 36 k - 6 k^{2} > 0

Como

-6 < 0

, dividimos ambos os membros por

-6

invertendo o sentido da desigualdade:

- 19 + 6 k + k^{2} < 0

Dada a forma quadrática

a k^{2} + b k + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 6

c = -19

Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-19)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

6^{2}

6 \cdot 6

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-19)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-19)

4 \cdot 19

4 \cdot (10 + 9)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 9

40 + 36

76

Δ = 36 + 76

ⓘ Partimos de

36

e avançamos

76

na reta numérica:

36 + 76

112

Δ = 112

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

k_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 - \sqrt{112}}{2 \cdot 1}

k_{1} = \frac{- 6 - \sqrt{112}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

112

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 6 - 4 \cdot \sqrt{7}

- (6 + 4 \cdot \sqrt{7})

k_{1} = - \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

- \frac{2 \cdot (3 + 2 \cdot \sqrt{7})}{2}

- (3 + 2 \cdot \sqrt{7})

k_{1} = - (3 + 2 \cdot \sqrt{7})

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 + 2 \cdot \sqrt{7})

- 3 - 2 \cdot \sqrt{7}

k_{1} = - 3 - 2 \cdot \sqrt{7}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

k_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 + \sqrt{112}}{2 \cdot 1}

k_{2} = \frac{- 6 + \sqrt{112}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

112

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

k_{2} = \frac{- 6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{- 6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

\frac{2 \cdot (- 3 + 2 \cdot \sqrt{7})}{2}

- 3 + 2 \cdot \sqrt{7}

k_{2} = - 3 + 2 \cdot \sqrt{7}

O trinómio tem sinal oposto ao de a (

1

) entre as suas raízes, pelo que é negativo entre elas; as raízes, onde se anula, estão excluídas.

▶Solução obtida:

k \in] - 2 \cdot \sqrt{7} - 3; 2 \cdot \sqrt{7} - 3 [

2) O valor numérico de:

k \in] - 2 \cdot \sqrt{7} - 3; 2 \cdot \sqrt{7} - 3 [

vale:

k \in] - 2 \cdot \approx 2,6458 - 3; 2 \cdot \approx 2,6458 - 3 [

k \in] - \approx 5,2915 - 3; \approx 5,2915 - 3 [

▷

k \in] \approx -8,2915; \approx 2,2915 [