15x^2+2x-10=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

15 x^{2} + 2 x - 10 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 15

b = 2

c = -10

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (-10)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 60 \cdot (-10)

60 \cdot 10

Δ = 4 + 60 \cdot 10

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

60 \cdot 10

600

Δ = 4 + 600

ⓘ Partimos de

4

e avançamos

600

na reta numérica:

4 + 600

604

Δ = 604

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 - \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

604

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{604}

\sqrt{4 \cdot 151}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{151}

2 \cdot \sqrt{151}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 2 - 2 \cdot \sqrt{151}

- (2 + 2 \cdot \sqrt{151})

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{1} = - \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

- \frac{1 + \sqrt{151}}{15}

x_{1} = - \frac{1 + \sqrt{151}}{15}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 + \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

604

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{604}

\sqrt{4 \cdot 151}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{151}

2 \cdot \sqrt{151}

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{2} = \frac{- 2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{- 2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

\frac{- 1 + \sqrt{151}}{15}

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{151}}{15}

▶Soluções encontradas:

x = {- \frac{1 + \sqrt{151}}{15}; \frac{\sqrt{151} - 1}{15}}

2) O valor numérico de:

x = {- \frac{1 + \sqrt{151}}{15}; \frac{\sqrt{151} - 1}{15}}

é:

x = {\approx - \frac{1 + 12,2882}{15}; \approx \frac{12,2882 - 1}{15}}

x = {\approx - \frac{13,2882}{15}; \approx \frac{11,2882}{15}}

▷

x = {\approx -0,8859; \approx 0,7525}