2-(z-2)^2=z^2 — solução passo a passo

Vamos resolver em

ℝ

2 - {(z - 2)}^{2} = z^{2}

2 - {(z - 2)}^{2} - z^{2} = 0

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(z - 2)}^{2}

(z - 2) \cdot (z - 2)

2 - (z - 2) \cdot (z - 2) - z^{2} = 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (z - 2) \cdot (z - 2)

- (z \cdot z

+ z \cdot (-2)

- 2 z

- 2 \cdot (-2))

2 - (z \cdot z

+ z \cdot (-2)

- 2 z

- 2 \cdot (-2)) - z^{2} = 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (z \cdot z

+ z \cdot (-2)

- 2 z

- 2 \cdot (-2))

- z \cdot z

- z \cdot (-2)

+ 2 z

+ 2 \cdot (-2)

2

- z \cdot z

- z \cdot (-2)

+ 2 z

+ 2 \cdot (-2)

- z^{2} = 0

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

z \cdot z

z^{2}

■Dois sinais de menos anulam-se:

- z \cdot (-2)

2 z

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-2)

-4

2

- z^{2}

+ 2 z

+ 2 z

- 4

- z^{2} = 0

ⓘ Partimos de

2

e recuamos

4

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

2 - 4

-2

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 z + 2 z

4 z

- z^{2} - z^{2}

-2 z^{2}

- 2 - 2 z^{2} + 4 z = 0

Como

-2 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-2

1 + z^{2} - 2 z = 0

Dada a forma quadrática

a z^{2} + b z + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2

c = 1

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4

ⓘ Partimos de

4

e recuamos

4

na reta numérica, até ao zero:

4 - 4

0

Δ = 0

Como

Δ = 0

, a equação tem uma raiz:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

z_{0}

- \frac{b}{2 a}

\frac{- (-2)}{2 \cdot 1}

z_{0} = \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

z_{0} = 1

▶Solução encontrada:

z = 1