2^2+5x<-x^2+1 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

2^{2} + 5 x < - x^{2} + 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

4 + 5 x < - x^{2} + 1

4

+ 5 x

+ x^{2}

- 1 < 0

ⓘ Partimos de

4

e recuamos

1

na reta numérica:

4 - 1

3

3 + 5 x + x^{2} < 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 5

c = 3

Δ = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

Δ = 25 - 4 \cdot 3

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

Δ = 25 - 12

ⓘ Partimos de

25

e recuamos

12

na reta numérica:

25 - 12

13

Δ = 13

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 - \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 5 - \sqrt{13}}{2}

ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 5 - \sqrt{13}

- (5 + \sqrt{13})

x_{1} = - \frac{5 + \sqrt{13}}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 + \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{13}}{2}

O trinómio tem sinal oposto ao de a (

1

) entre as suas raízes, pelo que é negativo entre elas; as raízes, onde se anula, estão excluídas.

▶Solução encontrada:

x \in] - \frac{5 + \sqrt{13}}{2}; \frac{\sqrt{13} - 5}{2} [

2) O valor numérico de:

x \in] - \frac{5 + \sqrt{13}}{2}; \frac{\sqrt{13} - 5}{2} [

vale:

x \in] - \frac{5 + \approx 3,6056}{2}; \frac{\approx 3,6056 - 5}{2} [

x \in] - \frac{\approx 8,6056}{2}; - \frac{\approx 1,3944}{2} [

▷

x \in] \approx -4,3028; \approx -0,6972 [