2/3 |x+5|-5/3 =-1 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} - \frac{5}{3} = -1

Multiplicamos ambos os membros por

3 \cdot | x + 5 |

, não nulo para que as frações estejam definidas

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} \cdot 3 \cdot | x + 5 | - \frac{5}{3} \cdot 3 \cdot | x + 5 | = -1 \cdot 3 \cdot | x + 5 |

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} \cdot 3 \cdot | x + 5 |

\frac{2 \cdot 3 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |}

\frac{6 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

\frac{5}{3} \cdot 3

5

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

-1 \cdot 3 \cdot | x + 5 |

-3 \cdot | x + 5 |

\frac{6 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |} - 5 \cdot | x + 5 | = -3 \cdot | x + 5 |

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{6 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |}

\frac{6 \cdot | 1 |}{3 \cdot | 1 |}

\frac{6 \cdot | 1 |}{3 \cdot | 1 |} - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 \cdot | 1 |}{3 \cdot | 1 |}

\frac{2 \cdot | 1 |}{| 1 |}

\frac{2 \cdot | 1 |}{| 1 |} - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

\frac{2 \cdot 1}{1} - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

2 - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

Os argumentos dos valores absolutos anulam-se em

-5

. Dividimos ℝ nesses pontos e resolvemos em cada intervalo

] -∞; -5]

x + 5 \leq 0

, pelo que

| x + 5 | = - (x + 5)

;

x + 5 \leq 0

, pelo que

| x + 5 | = - (x + 5)

] -∞; -5]

, a equação passa a ser

2 - 5 \cdot (- (x + 5)) = - 3 \cdot (- (x + 5))

2) Vamos resolver em

ℝ

2 - 5 \cdot (- (x + 5)) = - 3 \cdot (- (x + 5))

ⓘ Extraímos os sinais de menos: um número par de sinais de menos anula-se e um número ímpar deixa um sinal de menos:

- 5 \cdot (- (x + 5))

5 \cdot (x + 5)

- 3 \cdot (- (x + 5))

3 \cdot (x + 5)

2 + 5 \cdot (x + 5) = 3 \cdot (x + 5)

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

5 \cdot (x + 5)

5 x + 25

3 \cdot (x + 5)

3 x + 15

2 + 5 x + 25 = 3 x + 15

ⓘ Partimos de

2

e avançamos

25

na reta numérica:

2 + 25

27

27 + 5 x = 3 x + 15

ⓘ Subtraímos

27

a ambos os membros■Partimos de

15

e recuamos

27

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

15 - 27

-12

5 x = 3 x - 12

ⓘ Subtraímos

3 x

a ambos os membros

5 x - 3 x = -12

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

5 x - 3 x

2 x

2 x = -12

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

x = - \frac{12}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{12}{2}

-6

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = -6

Como

-6 \leq -5

, podemos manter a solução

-6

[-5; +∞ [

x + 5 \geq 0

, pelo que

| x + 5 | = x + 5

;

x + 5 \geq 0

, pelo que

| x + 5 | = x + 5

[-5; +∞ [

, a equação passa a ser

2 - 5 \cdot (x + 5) = - 3 \cdot (x + 5)

3) Vamos resolver em

ℝ

2 - 5 \cdot (x + 5) = - 3 \cdot (x + 5)

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 5 \cdot (x + 5)

- (5 x + 25)

- 3 \cdot (x + 5)

- (3 x + 15)

2 - (5 x + 25) = - (3 x + 15)

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (5 x + 25)

- 5 x - 25

- (3 x + 15)

- 3 x - 15

2 - 5 x - 25 = - 3 x - 15

ⓘ Partimos de

2

e recuamos

25

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

2 - 25

-23

- 23 - 5 x = - 3 x - 15

ⓘ Agrupamos os termos em

x

à direita e os restantes à esquerda

- 23 + 15 = - 3 x + 5 x

ⓘ Partimos de

-23

e avançamos

15

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 23 + 15

-8

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 3 x + 5 x

2 x

-8 = 2 x

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

x = - \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{8}{2}

-4

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = -4

Como

-4 \geq -5

, podemos manter a solução

-4

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = {-6; -4}

4) Vamos procurar o domínio de

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} - \frac{5}{3} = -1

Para que a expressão

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |}

esteja definida, é necessário:

3 \cdot | x + 5 | \neq 0

Simplificamos a expressão por

3

Vamos resolver em

ℝ

| x + 5 | \neq 0

Vamos resolver em

ℝ

x + 5 \neq 0

ⓘ Subtraímos

5

a ambos os membros

Restrições do domínio:

x \neq -5

▶Solução:

x = {-6; -4}