2*5^x = 3^(2x) — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

2 \cdot 5^{x} = 3^{2 x}

Numa potência de uma potência multiplicam-se os expoentes: para ter o mesmo expoente em ambos os membros, escrevemos

3^{2 x}

{(3^{2})}^{x}

9^{x}

2 \cdot 5^{x} = 9^{x}

ⓘ Dividimos ambos os membros por

5^{x}

, estritamente positivo; o quociente de duas potências com o mesmo expoente é a potência do quociente:

\frac{2 \cdot 5^{x}}{5^{x}} = \frac{9^{x}}{5^{x}}

, ou seja,

2 = {(\frac{9}{5})}^{x}

{(\frac{9}{5})}^{x} = 2

Podemos aplicar a função ln a ambos os membros:

\ln ({(\frac{9}{5})}^{x}) = \ln (2)

ⓘ No domínio real da expressão inicial, a base é estritamente positiva: o logaritmo da potência é o expoente multiplicado pelo logaritmo da base:

\ln ({(\frac{9}{5})}^{x})

x \cdot \ln (\frac{9}{5})

x \cdot \ln (\frac{9}{5}) = \ln (2)

ⓘ Dividimos ambos os membros por

\ln (\frac{9}{5})

▶Solução encontrada:

x = \frac{\ln (2)}{\ln (\frac{9}{5})}

2) O valor numérico de:

x = \frac{\ln (2)}{\ln (\frac{9}{5})}

é:

x = \frac{\approx 0,6931}{\ln (1,8)}

x = \frac{\approx 0,6931}{\approx 0,5878}

▷

x = \approx 1,1792