2v^2+v-5=(v+1)^2 — solução passo a passo

Vamos resolver em

ℝ

2 v^{2} + v - 5 = {(v + 1)}^{2}

2 v^{2}

+ v

- 5

- {(v + 1)}^{2} = 0

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(v + 1)}^{2}

(v + 1) \cdot (v + 1)

2 v^{2}

+ v

- 5

- (v + 1) \cdot (v + 1) = 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (v + 1) \cdot (v + 1)

- (v \cdot v

+ v \cdot 1

+ 1 \cdot v

+ 1 \cdot 1)

2 v^{2}

+ v

- 5

- (v \cdot v

+ v \cdot 1

+ 1 \cdot v

+ 1 \cdot 1) = 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (v \cdot v

+ v \cdot 1

+ 1 \cdot v

+ 1 \cdot 1)

- v \cdot v

- v \cdot 1

- 1 \cdot v

- 1 \cdot 1

2 v^{2}

+ v

- 5

- v \cdot v

- v \cdot 1

- 1 \cdot v

- 1 \cdot 1 = 0

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

v \cdot v

v^{2}

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot v

v

2 v^{2}

+ v

- 5

- v^{2}

- v

- v

- 1 = 0

ⓘ Partimos de

-5

e recuamos mais

1

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 5 - 1

-6

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 v^{2} - v^{2}

v^{2}

v

- 6

- v

- v

- v - 6

v^{2} - v - 6 = 0

Dada a forma quadrática

a v^{2} + b v + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -6

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-6)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-6)

24

Δ = 1 + 24

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

24

na reta numérica:

1 + 24

25

Δ = 25

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

v_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

v_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

v_{1} = \frac{1 - 5}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 5

-4

v_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{2}

-2

v_{1} = -2