2x^2+17x+21<= 0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} + 17 x + 21 \leq 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = 17

c = 21

Δ = 17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

17^{2}

17 \cdot 17

289

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

Δ = 289 - 8 \cdot 21

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 21

8 \cdot (20 + 1)

8 \cdot 20 + 8

160 + 8

168

Δ = 289 - 168

ⓘ Partimos de

289

e recuamos

168

na reta numérica:

289 - 168

121

Δ = 121

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{- 17 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{121}

11

pois

11^{2}

121

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{- 17 - 11}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 17 - 11

-28

x_{1} = - \frac{28}{4}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{28}{4}

-7

x_{1} = -7

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{- 17 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{121}

11

pois

11^{2}

121

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{- 17 + 11}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 17 + 11

-6

x_{2} = - \frac{6}{4}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{4}

- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{3}{2}

x_{2} = - \frac{3}{2}

O trinómio tem sinal oposto ao de a (

2

) entre as suas raízes, pelo que é negativo entre elas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

▶Solução encontrada:

x \in [-7; - \frac{3}{2}]

2) O valor numérico de:

x \in [-7; - \frac{3}{2}]

é:

▷

x \in [-7; -1,5]