2x^2+3x-2>0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} + 3 x - 2 > 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = 3

c = -2

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-2)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 8 \cdot (-2)

8 \cdot 2

Δ = 9 + 8 \cdot 2

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 2

16

Δ = 9 + 16

ⓘ Partimos de

9

e avançamos

16

na reta numérica:

9 + 16

25

Δ = 25

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{- 3 - 5}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 - 5

-8

x_{1} = - \frac{8}{4}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{8}{4}

-2

x_{1} = -2

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{- 3 + 5}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 + 5

2

x_{2} = \frac{2}{4}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{4}

\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{1}{2}

x_{2} = \frac{1}{2}

O trinómio tem o sinal de a (

2

) fora das suas raízes, pelo que é positivo fora delas; as raízes, onde se anula, estão excluídas.

▶Solução obtida:

x \in] -∞; -2 [\cup] \frac{1}{2}; +∞ [

2) O valor numérico de:

x \in] -∞; -2 [\cup] \frac{1}{2}; +∞ [

é:

▷

x \in] -∞; -2 [\cup] 0,5; +∞ [