2x^2-4x=1 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} - 4 x = 1

2 x^{2} - 4 x - 1 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = -4

c = -1

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

- 8 \cdot (-1)

8

Δ = 16 + 8

ⓘ Partimos de

16

e avançamos

8

na reta numérica:

16 + 8

24

Δ = 24

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

24

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{24}

\sqrt{4 \cdot 6}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{6}

2 \cdot \sqrt{6}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{4 - 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4 - 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

\frac{2 - \sqrt{6}}{2}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

24

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{24}

\sqrt{4 \cdot 6}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{6}

2 \cdot \sqrt{6}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

\frac{2 + \sqrt{6}}{2}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}

▶Soluções obtidas:

x = {\frac{2 - \sqrt{6}}{2}; \frac{2 + \sqrt{6}}{2}}

2) O valor numérico de:

x = {\frac{2 - \sqrt{6}}{2}; \frac{2 + \sqrt{6}}{2}}

vale:

x = {\approx \frac{2 - 2,4495}{2}; \approx \frac{2 + 2,4495}{2}}

x = {\approx - \frac{0,4495}{2}; \approx \frac{4,4495}{2}}

▷

x = {\approx -0,2247; \approx 2,2247}