2x^2-6x-3=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} - 6 x - 3 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = -6

c = -3

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 8 \cdot (-3)

8 \cdot 3

Δ = 36 + 8 \cdot 3

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 3

24

Δ = 36 + 24

ⓘ Partimos de

36

e avançamos

24

na reta numérica:

36 + 24

60

Δ = 60

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{60}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{60}}{2 \cdot 2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

60

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{6 - 2 \cdot \sqrt{15}}{4}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 - 2 \cdot \sqrt{15}}{4}

\frac{3 - \sqrt{15}}{2}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{15}}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{60}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{60}}{2 \cdot 2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

60

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{4}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{4}

\frac{3 + \sqrt{15}}{2}

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{15}}{2}

▶Soluções obtidas:

x = {\frac{3 - \sqrt{15}}{2}; \frac{3 + \sqrt{15}}{2}}

2) O valor numérico de:

x = {\frac{3 - \sqrt{15}}{2}; \frac{3 + \sqrt{15}}{2}}

é:

x = {\approx \frac{3 - 3,8730}{2}; \approx \frac{3 + 3,8730}{2}}

x = {\approx - \frac{0,8730}{2}; \approx \frac{6,8730}{2}}

▷

x = {\approx -0,4365; \approx 3,4365}