2x^2-x-3<0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} - x - 3 < 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = -1

c = -3

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 8 \cdot (-3)

8 \cdot 3

Δ = 1 + 8 \cdot 3

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 3

24

Δ = 1 + 24

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

24

na reta numérica:

1 + 24

25

Δ = 25

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{1 - 5}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 5

-4

x_{1} = - \frac{4}{4}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{4}

-1

x_{1} = -1

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{1 + 5}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 5

6

x_{2} = \frac{6}{4}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{4}

\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{3}{2}

x_{2} = \frac{3}{2}

O trinómio tem sinal oposto ao de a (

2

) entre as suas raízes, pelo que é negativo entre elas; as raízes, onde se anula, estão excluídas.

▶Solução obtida:

x \in] -1; \frac{3}{2} [

2) O valor numérico de:

x \in] -1; \frac{3}{2} [

é:

▷

x \in] -1; 1,5 [