3/(|5-2x|)<2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{3}{| 5 - 2 x |} < 2

2) Vamos somar as frações:

\frac{3}{| 5 - 2 x |} - 2 < 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{3}{| 5 - 2 x |} - 2

\frac{3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |}

\frac{3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |} < 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥2.1) Vamos estudar o sinal de

3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |

resolvendo em

ℝ

3 - 2 \cdot | 5 - 2 x | < 0

⇥Dividimos ambos os membros por

-2

, que é negativo, pelo que invertemos o sentido da desigualdade

⇥De

| A | > B

deduzimos:

A > B

A < - B

⇥2.2) Vamos resolver em

ℝ

5 - 2 x > \frac{3}{2}

⇥ⓘ Agrupamos os termos em

x

à direita e os restantes à esquerda

⇥

5 - \frac{3}{2} > 2 x

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

5 - \frac{3}{2}

\frac{2 \cdot 5 - 3}{2}

⇥

\frac{2 \cdot 5 - 3}{2} > 2 x

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 5

10

⇥

\frac{10 - 3}{2} > 2 x

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

10 - 3

7

⇥

\frac{7}{2} > 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

x < \frac{\frac{7}{2}}{2}

⇥ⓘ Dividir uma fração por

2

equivale a multiplicar o seu denominador por

2

\frac{\frac{7}{2}}{2}

\frac{7}{2 \cdot 2}

⇥

x < \frac{7}{2 \cdot 2}

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x < \frac{7}{4}

⇥2.3) Vamos resolver em

ℝ

5 - 2 x < - \frac{3}{2}

⇥ⓘ Agrupamos os termos em

x

à direita e os restantes à esquerda

⇥

5 + \frac{3}{2} < 2 x

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

5 + \frac{3}{2}

\frac{2 \cdot 5 + 3}{2}

⇥

\frac{2 \cdot 5 + 3}{2} < 2 x

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 5

10

⇥

\frac{10 + 3}{2} < 2 x

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

10 + 3

13

⇥

\frac{13}{2} < 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

x > \frac{\frac{13}{2}}{2}

⇥ⓘ Dividir uma fração por

2

equivale a multiplicar o seu denominador por

2

\frac{\frac{13}{2}}{2}

\frac{13}{2 \cdot 2}

⇥

x > \frac{13}{2 \cdot 2}

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x > \frac{13}{4}

⇥Portanto, a expressão

3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |

é negativa em

] \frac{13}{4}; +∞ [

e positiva ou nula nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥2.4) Vamos estudar o sinal de

| 5 - 2 x |

resolvendo em

ℝ

| 5 - 2 x | < 0

⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥Portanto, a expressão

| 5 - 2 x |

é sempre positiva ou nula

3) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$\frac{7}{4}$		$\frac{13}{4}$		$+∞$
$3 - 2 \cdot \| 5 - 2 x \|$		-	0	+	0	-
$\| 5 - 2 x \|$		+		+		+
$\frac{3}{\| 5 - 2 x \|} - 2$		-	0	+	0	-

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; \frac{7}{4} [\cup] \frac{13}{4}; +∞ [

4) Vamos determinar o domínio de

\frac{3}{| 5 - 2 x |} < 2

Para que a expressão

\frac{3}{| 5 - 2 x |}

esteja definida, é necessário:

| 5 - 2 x | \neq 0

5) Vamos resolver em

ℝ

5 - 2 x \neq 0

ⓘ Somamos

2 x

a ambos os membros

5 \neq 2 x

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

Restrições do domínio:

x \neq \frac{5}{2}

▶Solução:

x \in] -∞; \frac{7}{4} [\cup] \frac{13}{4}; +∞ [

6) O valor numérico de:

x \in] -∞; \frac{7}{4} [\cup] \frac{13}{4}; +∞ [

vale:

▷

x \in] -∞; 1,75 [\cup] 3,25; +∞ [