3/(x+2)> 3/(x-5) — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{3}{x + 2} > \frac{3}{x - 5}

2) Vamos somar as frações:

\frac{3}{x + 2} - \frac{3}{x - 5} > 0

ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{3}{x - 5}

\frac{3}{- x + 5}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{3}{x + 2} + \frac{3}{- x + 5}

\frac{3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)}{(x + 2) \cdot (- x + 5)}

\frac{3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)}{(x + 2) \cdot (- x + 5)} > 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥2.1) Vamos estudar o sinal de

3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)

resolvendo em

ℝ

3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2) > 0

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

3 \cdot (- x + 5)

3 \cdot (- x) + 15

3 \cdot (x + 2)

3 x + 6

⇥

3 \cdot (- x)

+ 15

+ 3 x

+ 6 > 0

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

3 \cdot (- x)

- 3 x

■Partimos de

15

e avançamos

6

na reta numérica:

15 + 6

21

⇥

- 3 x + 21 + 3 x > 0

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 3 x + 3 x

0

⇥

0 + 21 > 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 21

21

⇥

21 > 0

⇥A relação simplificada é sempre verdadeira; ainda é necessário respeitar o domínio da expressão inicial

⇥Portanto, a expressão

3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)

é sempre positiva

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥2.2) Vamos resolver em

ℝ

(x + 2) \cdot (- x + 5) > 0

⇥Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥⇥A expressão

x + 2

anula-se em

x = -2

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

⇥⇥A expressão

- x + 5

anula-se em:

⇥⇥

x = 5

⇥⇥Como o seu coeficiente de

x

-1

, é negativo, é positiva antes e negativa depois de

5

(valor excluído)

3) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-2$		$5$		$+∞$
$3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)$		+		+		+
$x + 2$		-	0	+		+
$- x + 5$		+		+	0	-
$\frac{3}{x + 2} - \frac{3}{x - 5}$		-	❌	+	❌	-

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -2; 5 [

4) Vamos procurar o domínio de

\frac{3}{x + 2} > \frac{3}{x - 5}

Para que a expressão

\frac{3}{x + 2}

esteja definida, é necessário:

x + 2 \neq 0

Para que a expressão

\frac{3}{x - 5}

esteja definida, é necessário:

x - 5 \neq 0

5) Vamos resolver em

ℝ

x + 2 \neq 0

ⓘ Subtraímos

2

a ambos os membros

Solução encontrada:

x \neq -2

6) Vamos resolver em

ℝ

x - 5 \neq 0

ⓘ Somamos

5

a ambos os membros

Solução obtida:

x \neq 5

Vamos construir o quadro das diferentes soluções para encontrar a solução global:

x	$-∞$		$-2$		$5$		$+∞$
$x + 2 \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
$x - 5 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
Domínio de definição:		✅	❌	✅	❌	✅

Restrições do domínio:

x \in ℝ \ {-2; 5}

▶Solução:

x \in] -2; 5 [