3x^2=2x+3 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

3 x^{2} = 2 x + 3

3 x^{2} - 2 x - 3 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 3

b = -2

c = -3

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-3)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 12 \cdot (-3)

12 \cdot 3

Δ = 4 + 12 \cdot 3

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 3

(10 + 2) \cdot 3

10 \cdot 3 + 2 \cdot 3

30 + 6

36

Δ = 4 + 36

ⓘ Partimos de

4

e avançamos

36

na reta numérica:

4 + 36

40

Δ = 40

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{40}}{2 \cdot 3}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2 \cdot 3}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

40

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{40}

\sqrt{4 \cdot 10}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{10}

2 \cdot \sqrt{10}

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{10}}{6}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{10}}{6}

\frac{1 - \sqrt{10}}{3}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{40}}{2 \cdot 3}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2 \cdot 3}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

40

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{40}

\sqrt{4 \cdot 10}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{10}

2 \cdot \sqrt{10}

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{10}}{6}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{10}}{6}

\frac{1 + \sqrt{10}}{3}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}

▶Soluções encontradas:

x = {\frac{1 - \sqrt{10}}{3}; \frac{1 + \sqrt{10}}{3}}

2) O valor numérico de:

x = {\frac{1 - \sqrt{10}}{3}; \frac{1 + \sqrt{10}}{3}}

é:

x = {\approx \frac{1 - 3,1623}{3}; \approx \frac{1 + 3,1623}{3}}

x = {\approx - \frac{2,1623}{3}; \approx \frac{4,1623}{3}}

▷

x = {\approx -0,7208; \approx 1,3874}