3x^2+12x+3=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

3 x^{2} + 12 x + 3 = 0

Como

3 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

3

x^{2} + 4 x + 1 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 4

c = 1

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

Δ = 16 - 4

ⓘ Partimos de

16

e recuamos

4

na reta numérica:

16 - 4

12

Δ = 12

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{12}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

12

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{12}

\sqrt{4 \cdot 3}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}

2 \cdot \sqrt{3}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 4 - 2 \cdot \sqrt{3}

- (4 + 2 \cdot \sqrt{3})

x_{1} = - \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2}

- (2 + \sqrt{3})

x_{1} = - (2 + \sqrt{3})

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 + \sqrt{3})

- 2 - \sqrt{3}

x_{1} = - 2 - \sqrt{3}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{12}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

12

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{12}

\sqrt{4 \cdot 3}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}

2 \cdot \sqrt{3}

x_{2} = \frac{- 4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{- 4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

\frac{2 \cdot (- 2 + \sqrt{3})}{2}

- 2 + \sqrt{3}

x_{2} = - 2 + \sqrt{3}

▶Soluções encontradas:

x = {- \sqrt{3} - 2; \sqrt{3} - 2}

2) O valor numérico de:

x = {- \sqrt{3} - 2; \sqrt{3} - 2}

vale:

x = {\approx - 1,7321 - 2; \approx 1,7321 - 2}

▷

x = {\approx -3,7321; \approx -0,2679}