3x^2+8x-4=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

3 x^{2} + 8 x - 4 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 3

b = 8

c = -4

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-4)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

8^{2}

8 \cdot 8

64

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 12 \cdot (-4)

12 \cdot 4

Δ = 64 + 12 \cdot 4

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

Δ = 64 + 48

ⓘ Partimos de

64

e avançamos

48

na reta numérica:

64 + 48

112

Δ = 112

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 - \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

x_{1} = \frac{- 8 - \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

112

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 8 - 4 \cdot \sqrt{7}

- (8 + 4 \cdot \sqrt{7})

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{1} = - \frac{8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}

x_{1} = - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 + \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

x_{2} = \frac{- 8 + \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

112

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{2} = \frac{- 8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{- 8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

\frac{2 \cdot (- 2 + \sqrt{7})}{3}

x_{2} = \frac{2 \cdot (- 2 + \sqrt{7})}{3}

▶Soluções obtidas:

x = {- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}; \frac{2 \cdot (\sqrt{7} - 2)}{3}}

2) O valor numérico de:

x = {- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}; \frac{2 \cdot (\sqrt{7} - 2)}{3}}

é:

x = {\approx - \frac{2 \cdot (2 + 2,6458)}{3}; \approx \frac{2 \cdot (2,6458 - 2)}{3}}

x = {\approx - \frac{2 \cdot 4,6458}{3}; \approx \frac{2 \cdot 0,6458}{3}}

x = {\approx - \frac{9,2915}{3}; \approx \frac{1,2915}{3}}

▷

x = {\approx -3,0972; \approx 0,4305}