4x-2x^2=-32/3 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

4 x - 2 x^{2} = - \frac{32}{3}

Como

-2 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-2

x^{2} - 2 x = \frac{16}{3}

x^{2} - 2 x - \frac{16}{3} = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2

c = - \frac{16}{3}

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- \frac{16}{3})

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (- \frac{16}{3})

ⓘ Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (- \frac{16}{3})

4 \cdot \frac{16}{3}

Δ = 4 + 4 \cdot \frac{16}{3}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

4 \cdot \frac{16}{3}

\frac{4 \cdot 16}{3}

\frac{64}{3}

Δ = 4 + \frac{64}{3}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

4 + \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 4 + 64}{3}

Δ = \frac{3 \cdot 4 + 64}{3}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

Δ = \frac{12 + 64}{3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 + 64

76

Δ = \frac{76}{3}

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{\frac{76}{3}}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{\frac{76}{3}}}{2}

ⓘ A raiz de um quociente é o quociente das raízes,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\sqrt{\frac{76}{3}}

\frac{\sqrt{76}}{\sqrt{3}}

x_{1} = \frac{2 - \frac{\sqrt{76}}{\sqrt{3}}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

76

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{76}

\sqrt{4 \cdot 19}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{19}

2 \cdot \sqrt{19}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

2 - \frac{2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

x_{1} = \frac{\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}}{2}

ⓘ Dividir uma fração por

2

equivale a multiplicar o seu denominador por

2

\frac{\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}}{2}

\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot \sqrt{3}}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot \sqrt{3}}

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

x_{1} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

Por convenção, preferimos as raízes quadradas numéricas no numerador em vez do denominador:

ⅰ

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{19})}{3}

x_{1} = \frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{19})}{3}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{19})

3 + \sqrt{3} \cdot (- \sqrt{19})

x_{1} = \frac{3 + \sqrt{3} \cdot (- \sqrt{19})}{3}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

\sqrt{3} \cdot (- \sqrt{19})

- \sqrt{3} \cdot \sqrt{19}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{19}}{3}

ⓘ O produto de duas raízes quadradas é a raiz quadrada do produto:

\sqrt{3} \cdot \sqrt{19}

\sqrt{3 \cdot 19}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{3 \cdot 19}}{3}

ⅰ

3 \cdot 19

3 \cdot (10 + 9)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 9

30 + 27

57

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{57}}{3}