5/(2t-1)<2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{5}{2 t - 1} < 2

2) Vamos somar as frações:

\frac{5}{2 t - 1} - 2 < 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{5}{2 t - 1} - 2

\frac{5 - 2 \cdot (2 t - 1)}{2 t - 1}

\frac{5 - 2 \cdot (2 t - 1)}{2 t - 1} < 0

Estudamos o sinal do numerador

Vamos estudar o sinal de

5 - 2 \cdot (2 t - 1)

resolvendo em

ℝ

5 - 2 \cdot (2 t - 1) < 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 2 \cdot (2 t - 1)

- (4 t - 2)

5 - (4 t - 2) < 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (4 t - 2)

- 4 t + 2

5 - 4 t + 2 < 0

ⓘ Partimos de

5

e avançamos

2

na reta numérica:

5 + 2

7

7 - 4 t < 0

ⓘ Somamos

4 t

a ambos os membros

7 < 4 t

ⓘ Dividimos ambos os membros por

4

Candidatos, sujeitos ao domínio:

t > \frac{7}{4}

⇥Portanto, a expressão

5 - 2 \cdot (2 t - 1)

é negativa em

] \frac{7}{4}; +∞ [

e positiva ou nula nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥A expressão

2 t - 1

anula-se em:

⇥

t = \frac{1}{2}

⇥Como o seu coeficiente de

t

2

, é positivo, é negativa antes e positiva depois de

\frac{1}{2}

(valor excluído)

3) Vamos construir o quadro de sinais:

Candidatos, sujeitos ao domínio:

t \in] -∞; \frac{1}{2} [\cup] \frac{7}{4}; +∞ [

4) Vamos determinar o domínio de

\frac{5}{2 t - 1} < 2

Para que a expressão

\frac{5}{2 t - 1}

esteja definida, é necessário:

2 t - 1 \neq 0

ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

2 t \neq 1

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

Restrições do domínio:

t \neq \frac{1}{2}

▶Solução:

t \in] -∞; \frac{1}{2} [\cup] \frac{7}{4}; +∞ [

5) O valor numérico de:

t \in] -∞; \frac{1}{2} [\cup] \frac{7}{4}; +∞ [

é:

▷

t \in] -∞; 0,5 [\cup] 1,75; +∞ [