6/(x-1)-6/x >= 1 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1

2) Vamos somar as frações:

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} - 1 \geq 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot x}

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot x} - 1 \geq 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot x} - 1

\frac{(6 x - 6 \cdot (x - 1)) - 1 \cdot (x - 1) \cdot x}{(x - 1) \cdot x}

\frac{(6 x - 6 \cdot (x - 1)) - 1 \cdot (x - 1) \cdot x}{(x - 1) \cdot x} \geq 0

ⓘ Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot (x - 1) \cdot x

(x - 1) \cdot x

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x}{(x - 1) \cdot x} \geq 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥2.1) Vamos estudar o sinal de

6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x

resolvendo em

ℝ

6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x \geq 0

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 6 \cdot (x - 1)

- (6 x - 6)

- (x - 1) \cdot x

- (x^{2} - x)

⇥

6 x - (6 x - 6) - (x^{2} - x) \geq 0

⇥

6 x

- 6 x

+ 6

- x^{2}

+ x \geq 0

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

6 x

- 6 x

+ 6

- x^{2}

+ x

x + 6 - x^{2}

⇥

x + 6 - x^{2} \geq 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = -1

b = 1

c = 6

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-1) \cdot 6

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 1 + 4 \cdot 6

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 6

24

⇥

Δ = 1 + 24

⇥ⓘ Partimos de

1

e avançamos

24

na reta numérica:

1 + 24

25

⇥

Δ = 25

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{-2}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{- 1 - 5}{-2}

- (\frac{- 1 - 5}{2})

⇥

x_{1} = - (\frac{- 1 - 5}{2})

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 - 5

-6

⇥

x_{1} = - (\frac{-6}{2})

⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-6}{2})

\frac{6}{2}

⇥

x_{1} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

⇥

x_{1} = 3

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + 5}{-2}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{- 1 + 5}{-2}

- (\frac{- 1 + 5}{2})

⇥

x_{2} = - (\frac{- 1 + 5}{2})

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 5

4

⇥

x_{2} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{2}

-2

⇥

x_{2} = -2

⇥O trinómio tem sinal oposto ao de a (

-1

) entre as suas raízes, pelo que é positivo entre elas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in [-2; 3]

⇥Portanto, a expressão

6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x

é positiva ou nula em

[-2; 3]

e negativa nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥2.2) Vamos resolver em

ℝ

(x - 1) \cdot x > 0

⇥Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥⇥A expressão

x - 1

anula-se em

x = 1

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

⇥⇥A expressão

x

anula-se em

x = 0

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

3) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-2$		$0$		$1$		$3$		$+∞$
$6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x$		-	0	+		+		+	0	-
$x - 1$		-		-		-	0	+		+
$x$		-		-	0	+		+		+
$(\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}) - 1$		-	0	+	❌	-	❌	+	0	-

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in [-2; 0 [\cup] 1; 3]

4) Vamos procurar o domínio de

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1

Para que a expressão

\frac{6}{x - 1}

esteja definida, é necessário:

x - 1 \neq 0

Para que a expressão

- \frac{6}{x}

esteja definida, é necessário:

x \neq 0

5) Vamos resolver em

ℝ

x - 1 \neq 0

ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

Solução obtida:

x \neq 1

Vamos construir o quadro das diferentes soluções para encontrar a solução global:

x	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$x - 1 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
$x \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
Domínio de definição:		✅	❌	✅	❌	✅

Restrições do domínio:

x \in ℝ \ {0; 1}

▶Solução:

x \in [-2; 0 [\cup] 1; 3]