6x^5 + 8x=26x^3 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

6 x^{5} + 8 x = 26 x^{3}

Podemos fatorizar a expressão

6 x^{5} - 26 x^{3} + 8 x

como

x \cdot (6 x^{4} - 26 x^{2} + 8)

Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥Solução obtida:

x = 0

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

6 x^{4} - 26 x^{2} + 8 = 0

⇥Como

2 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

2

3 x^{4} - 13 x^{2} + 4 = 0

⇥Vamos definir:

X = x^{2}

⇥Podemos reescrever a expressão como:

3 X^{2} - 13 X + 4 = 0

⇥Dada a forma quadrática

a X^{2} + b X + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 3

b = -13

c = 4

⇥

Δ = {(-13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-13)}^{2}

(-13) \cdot (-13)

169

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

⇥

Δ = 169 - 12 \cdot 4

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

⇥

Δ = 169 - 48

⇥ⓘ Partimos de

169

e recuamos

48

na reta numérica:

169 - 48

121

⇥

Δ = 121

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3}

⇥

X_{1} = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{121}

11

pois

11^{2}

121

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

X_{1} = \frac{13 - 11}{6}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

13 - 11

2

⇥

X_{1} = \frac{2}{6}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{6}

\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1}{3}

⇥

X_{1} = \frac{1}{3}

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3}

⇥

X_{2} = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{121}

11

pois

11^{2}

121

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

X_{2} = \frac{13 + 11}{6}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

13 + 11

24

⇥

X_{2} = \frac{24}{6}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

\frac{24}{6}

4

⇥

X_{2} = 4

⇥Soluções encontradas:

X = {\frac{1}{3}; 4}

⇥Vamos resolver em

ℝ

x^{2} = X = \frac{1}{3}

⇥Os dois números cujo quadrado vale

\frac{1}{3}

são

- \frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

⇥Soluções obtidas:

x = {- \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}}

⇥Vamos resolver em

ℝ

x^{2} = X = 4

⇥Os dois números cujo quadrado vale

4

são

-2

2

⇥Soluções obtidas:

x = {-2; 2}

▶Solução:

x = {-2; - \frac{\sqrt{3}}{3}; 0; \frac{\sqrt{3}}{3}; 2}

2) O valor numérico de:

x = {-2; - \frac{\sqrt{3}}{3}; 0; \frac{\sqrt{3}}{3}; 2}

vale:

x = {-2; \approx - \frac{1,7321}{3}; 0; \approx \frac{1,7321}{3}; 2}

▷

x = {-2; \approx -0,5774; 0; \approx 0,5774; 2}