7(x-4)^2-3(x+5)^2=4(x+1)-2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

7 \cdot {(x - 4)}^{2} - 3 \cdot {(x + 5)}^{2} = 4 \cdot (x + 1) - 2

7 \cdot {(x - 4)}^{2}

- 3 \cdot {(x + 5)}^{2}

- 4 \cdot (x + 1)

+ 2 = 0

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(x - 4)}^{2}

(x - 4) \cdot (x - 4)

{(x + 5)}^{2}

(x + 5) \cdot (x + 5)

■Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 4 \cdot (x + 1)

- (4 x + 4)

7 \cdot (x - 4) \cdot (x - 4)

- 3 \cdot (x + 5) \cdot (x + 5)

- (4 x + 4)

+ 2 = 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (4 x + 4)

- 4 x - 4

7 \cdot (x - 4) \cdot (x - 4)

- 3 \cdot (x + 5) \cdot (x + 5)

- 4 x

- 4

+ 2 = 0

ⓘ Partimos de

-4

e avançamos

2

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 4 + 2

-2

7 \cdot (x - 4) \cdot (x - 4)

- 3 \cdot (x + 5) \cdot (x + 5)

- 4 x

- 2 = 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

7 \cdot (x - 4)

7 x - 28

3 \cdot (x + 5)

3 x + 15

(7 x - 28) \cdot (x - 4)

- (3 x + 15) \cdot (x + 5)

- 4 x

- 2 = 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(7 x - 28) \cdot (x - 4)

7 \cdot x \cdot x

+ 7 x \cdot (-4)

- 28 x

- 28 \cdot (-4)

- (3 x + 15) \cdot (x + 5)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 5

+ 15 x

+ 15 \cdot 5)

7 \cdot x \cdot x

+ 7 x \cdot (-4)

- 28 x

- 28 \cdot (-4)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 5

+ 15 x

+ 15 \cdot 5)

- 4 x

- 2 = 0

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

7 \cdot (-4)

-28

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-28 \cdot (-4)

28 \cdot 4

(20 + 8) \cdot 4

20 \cdot 4 + 8 \cdot 4

80 + 32

112

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 5

+ 15 x

+ 15 \cdot 5)

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 5

- 15 x

- 15 \cdot 5

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 28 x - 4 x

-32 x

7 x^{2}

- 28 x

- 32 x

+ 112

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 5

- 15 x

- 15 \cdot 5

- 2 = 0

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 5

15

15 \cdot 5

(10 + 5) \cdot 5

10 \cdot 5 + 5 \cdot 5

50 + 25

75

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 28 x - 32 x - 15 x

-75 x

7 x^{2}

- 75 x

+ 112

- 3 x^{2}

- 15 x

- 75

- 2 = 0

ⓘ Partimos de

112

e recuamos

75

na reta numérica:

112 - 75

37

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

7 x^{2} - 3 x^{2}

4 x^{2}

- 75 x - 15 x

-90 x

4 x^{2}

- 90 x

+ 37

- 2 = 0

ⓘ Partimos de

37

e recuamos

2

na reta numérica:

37 - 2

35

4 x^{2} - 90 x + 35 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 4

b = -90

c = 35

Δ = {(-90)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 35

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-90)}^{2}

(-90) \cdot (-90)

8100

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

Δ = 8100 - 16 \cdot 35

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

16 \cdot 35

(10 + 6) \cdot 35

10 \cdot 35 + 6 \cdot 35

350 + 210

560

Δ = 8100 - 560

ⓘ Partimos de

8100

e recuamos

560

na reta numérica:

8100 - 560

7540

Δ = 7540

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-90) - \sqrt{7540}}{2 \cdot 4}

x_{1} = \frac{90 - \sqrt{7540}}{2 \cdot 4}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

7540

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{7540}

\sqrt{4 \cdot 1885}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{1885}

2 \cdot \sqrt{1885}

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{1} = \frac{90 - 2 \cdot \sqrt{1885}}{8}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{90 - 2 \cdot \sqrt{1885}}{8}

\frac{45 - \sqrt{1885}}{4}

x_{1} = \frac{45 - \sqrt{1885}}{4}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-90) + \sqrt{7540}}{2 \cdot 4}

x_{2} = \frac{90 + \sqrt{7540}}{2 \cdot 4}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

7540

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{7540}

\sqrt{4 \cdot 1885}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{1885}

2 \cdot \sqrt{1885}

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{2} = \frac{90 + 2 \cdot \sqrt{1885}}{8}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{90 + 2 \cdot \sqrt{1885}}{8}

\frac{45 + \sqrt{1885}}{4}

x_{2} = \frac{45 + \sqrt{1885}}{4}

▶Soluções encontradas:

x = {\frac{45 - \sqrt{1885}}{4}; \frac{45 + \sqrt{1885}}{4}}

2) O valor numérico de:

x = {\frac{45 - \sqrt{1885}}{4}; \frac{45 + \sqrt{1885}}{4}}

vale:

x = {\approx \frac{45 - 43,4166}{4}; \approx \frac{45 + 43,4166}{4}}

x = {\approx \frac{1,5834}{4}; \approx \frac{88,4166}{4}}

▷

x = {\approx 0,3959; \approx 22,1041}