89x^2+38x-45=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

89 x^{2} + 38 x - 45 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 89

b = 38

c = -45

Δ = 38^{2} - 4 \cdot 89 \cdot (-45)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

38^{2}

38 \cdot 38

1444

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 89

4 \cdot (80 + 9)

4 \cdot 80 + 4 \cdot 9

320 + 36

356

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 356 \cdot (-45)

356 \cdot 45

Δ = 1444 + 356 \cdot 45

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

356 \cdot 45

356 \cdot (40 + 5)

356 \cdot 40 + 356 \cdot 5

14 240 + 1780

16 020

Δ = 1444 + 16 020

ⓘ Partimos de

1444

e avançamos

16 020

na reta numérica:

1444 + 16 020

17 464

Δ = 17 464

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 38 - \sqrt{17 464}}{2 \cdot 89}

x_{1} = \frac{- 38 - \sqrt{17 464}}{2 \cdot 89}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

17 464

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{17 464}

\sqrt{4 \cdot 4366}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{4366}

2 \cdot \sqrt{4366}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 38 - 2 \cdot \sqrt{4366}

- (38 + 2 \cdot \sqrt{4366})

ⅰ

2 \cdot 89

2 \cdot (80 + 9)

2 \cdot 80 + 2 \cdot 9

160 + 18

178

x_{1} = - \frac{38 + 2 \cdot \sqrt{4366}}{178}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{38 + 2 \cdot \sqrt{4366}}{178}

- \frac{19 + \sqrt{4366}}{89}

x_{1} = - \frac{19 + \sqrt{4366}}{89}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 38 + \sqrt{17 464}}{2 \cdot 89}

x_{2} = \frac{- 38 + \sqrt{17 464}}{2 \cdot 89}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

17 464

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{17 464}

\sqrt{4 \cdot 4366}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{4366}

2 \cdot \sqrt{4366}

ⅰ

2 \cdot 89

2 \cdot (80 + 9)

2 \cdot 80 + 2 \cdot 9

160 + 18

178

x_{2} = \frac{- 38 + 2 \cdot \sqrt{4366}}{178}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{- 38 + 2 \cdot \sqrt{4366}}{178}

\frac{- 19 + \sqrt{4366}}{89}

x_{2} = \frac{- 19 + \sqrt{4366}}{89}

▶Soluções encontradas:

x = {- \frac{19 + \sqrt{4366}}{89}; \frac{\sqrt{4366} - 19}{89}}

2) O valor numérico de:

x = {- \frac{19 + \sqrt{4366}}{89}; \frac{\sqrt{4366} - 19}{89}}

é:

x = {\approx - \frac{19 + 66,0757}{89}; \approx \frac{66,0757 - 19}{89}}

x = {\approx - \frac{85,0757}{89}; \approx \frac{47,0757}{89}}

▷

x = {\approx -0,9559; \approx 0,5289}