9^x = 2e^(x^2) — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

9^{x} = 2 e^{x^{2}}

Podemos aplicar a função ln a ambos os membros:

\ln (9^{x}) = \ln (2 e^{x^{2}})

ⓘ No domínio real da expressão inicial, a base é estritamente positiva: o logaritmo da potência é o expoente multiplicado pelo logaritmo da base:

\ln (9^{x})

x \cdot \ln (9)

■No domínio real da expressão inicial, os fatores são estritamente positivos: o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos e o do quociente é a sua diferença:

\ln (2 e^{x^{2}})

\ln (2) + \ln (e^{x^{2}})

x \cdot \ln (9) = \ln (2) + \ln (e^{x^{2}})

ⓘ O logaritmo de uma potência é um múltiplo do logaritmo,

\ln (a^{n}) = n \cdot \ln (a)

\ln (9)

\ln (3^{2})

2 \cdot \ln (3)

■Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

\ln (e^{x^{2}})

x^{2}

x \cdot 2 \cdot \ln (3) = \ln (2) + x^{2}

- x^{2} + 2 x \cdot \ln (3) - \ln (2) = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-1

x^{2} - 2 x \cdot \ln (3) + \ln (2) = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2 \cdot \ln (3)

c = \ln (2)

Δ = {(-2 \cdot \ln (3))}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \ln (2)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Com um expoente inteiro par, o sinal de menos da base desaparece; com um expoente inteiro ímpar, passa para a frente da potência:

{(- 2 \cdot \ln (3))}^{2}

{(2 \cdot \ln (3))}^{2}

Δ = {(2 \cdot \ln (3))}^{2} - 4 \cdot \ln (2)

ⓘ A potência de um produto é o produto das potências:

{(2 \cdot \ln (3))}^{2}

2^{2} \cdot {\ln (3)}^{2}

Δ = 2^{2} \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

Δ = 4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)

Como

Δ

\approx 2,0552 > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2 \cdot \ln (3)) - \sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- (-2 \cdot \ln (3)) - \sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}}{2}

ⓘ Extraímos os sinais de menos: um número par de sinais de menos anula-se e um número ímpar deixa um sinal de menos:

- (-2 \cdot \ln (3))

2 \cdot \ln (3)

■Um fator que é uma potência exata pode ser extraído da raiz:

\sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}

2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

x_{1} = \frac{2 \cdot \ln (3) - 2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 \cdot \ln (3) - 2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}{2}

\frac{2 \cdot (\ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)})}{2}

\ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

x_{1} = \ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2 \cdot \ln (3)) + \sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- (-2 \cdot \ln (3)) + \sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}}{2}

ⓘ Extraímos os sinais de menos: um número par de sinais de menos anula-se e um número ímpar deixa um sinal de menos:

- (-2 \cdot \ln (3))

2 \cdot \ln (3)

■Um fator que é uma potência exata pode ser extraído da raiz:

\sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}

2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

x_{2} = \frac{2 \cdot \ln (3) + 2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 \cdot \ln (3) + 2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}{2}

\frac{2 \cdot (\ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)})}{2}

\ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

x_{2} = \ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

▶Soluções obtidas:

x = {\ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}; \ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}

2) O valor numérico de:

x = {\ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}; \ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}

é:

x = {\approx 1,0986 - {({1,0986}^{2} - 0,6931)}^{0,5}; \approx 1,0986 + {({1,0986}^{2} - 0,6931)}^{0,5}}

x = {\approx 1,0986 - {(1,2069 - 0,6931)}^{0,5}; \approx 1,0986 + {(1,2069 - 0,6931)}^{0,5}}

x = {\approx 1,0986 - {0,5138}^{0,5}; \approx 1,0986 + {0,5138}^{0,5}}

x = {\approx 1,0986 - 0,7168; \approx 1,0986 + 0,7168}

▷

x = {\approx 0,3818; \approx 1,8154}