Laplace inversa 1/((2s+1)s) — solução passo a passo

⚠ 1/((2s+1)s) é interpretado como 1/((2s+1)*s): utilize * para este produto, utilize ^ para uma potência

⇥1) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{1}{s \cdot (2 s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{2 s + 1}

⇥Para o fator simples

s

e a sua raiz

0

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

(2 s + 1) \cdot s

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥2) Vamos resolver em

ℝ

(2 \cdot 0 + 1) \cdot A = 1

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

2 \cdot 0

0

⇥

(0 + 1) \cdot A = 1

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 1

1

⇥Solução obtida:

A = 1

⇥Para o fator simples

2 s + 1

e a sua raiz

- \frac{1}{2}

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

(2 s + 1) \cdot s

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥3) Vamos resolver em

ℝ

- \frac{1}{2} \cdot B = 1

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{2} \cdot B

- \frac{1 \cdot B}{2}

- \frac{B}{2}

⇥

- \frac{B}{2} = 1

⇥

- B = 2

⇥ⓘ Mudamos o sinal de ambos os membros

⇥Solução encontrada:

B = -2

⇥4) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{1}{s \cdot (2 s + 1)} = \frac{1}{s} - \frac{2}{2 s + 1}

Procuramos a transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linearidade, invertemos cada fração simples

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{1}{s}

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!}

Antes de aplicar a fórmula, normalizamos o polo:

- \frac{2}{2 s + 1} = - \frac{1}{s + \frac{1}{2}}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

- \frac{1}{s + \frac{1}{2}}

\frac{-1 \cdot \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!} + \frac{-1 \cdot \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot t

0

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

■Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)

- \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)

⇥

\frac{1}{1} - \frac{\exp (- \frac{1}{2} \cdot t)}{1}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{2} \cdot t

- \frac{1 \cdot t}{2}

- \frac{t}{2}

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

\exp (- \frac{t}{2})

\frac{1}{\exp (\frac{t}{2})}

▶Transformada inversa de Laplace:

1 - \frac{1}{\exp (\frac{t}{2})}