(\partial)/(\partial x)(4x^{-x^2-y^2-z^2})

⚠ (\partial)/(\partial x)(4x^{-x^2-y^2-z^2}) é interpretado como dif(4x^(-x^2-y^2-z^2),x): utilize dif(expression, variable) para uma derivada em relação a essa variável, utilize (numerador)/(denominador) para um quociente, utilize ^(...) para agrupar um expoente, utilize * para multiplicar

1) Derivamos em relação a

x

; as outras variáveis (

y

z

) são consideradas constantes

Vamos derivar:

\frac{\partial}{\partial x} (4 x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}})

Para derivar nos intervalos onde

x > 0

, escrevemos

x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}

e^{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)}

ⅰ

\frac{\partial}{\partial x} (x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}})

\frac{\partial}{\partial x} ((- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)) \cdot e^{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)}

4 \cdot \frac{\partial}{\partial x} ((- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)) \cdot e^{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)}

Para

u1

(- x^{2} - y^{2} - z^{2})

v2

\ln (x)

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{\partial}{\partial x} (u1 \cdot v2) = \frac{\partial}{\partial x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{\partial}{\partial x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2} - y^{2} - z^{2})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2} - y^{2} - z^{2})

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- z^{2})

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- z^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2})

- 2 x

■Derivar uma constante dá zero:

\frac{\partial}{\partial x} (- y^{2})

0

■A derivada de uma constante é nula:

\frac{\partial}{\partial x} (- z^{2})

0

- 2 x + 0 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

- 2 x + 0 + 0

- 2 x

- 2 x

3) Vamos derivar

v2

\frac{\partial}{\partial x} (\ln (x))

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{\partial}{\partial x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

- 2 x \cdot \ln (x) + (- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \frac{1}{x}

\frac{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot 1}{x}

\frac{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}{x}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- x^{2} - y^{2} - z^{2}

- (x^{2} + y^{2} + z^{2})

- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{\partial}{\partial x} ((- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x))

- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}) \cdot x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}) \cdot x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}

\frac{4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

\frac{4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

- (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})

\frac{4 \cdot (- (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}))}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

4 \cdot (- (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}))

- 4 \cdot (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})

- \frac{4 \cdot (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

\frac{2 x \cdot \ln (x) \cdot x + (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}

- \frac{4 \cdot (\frac{2 x \cdot \ln (x) \cdot x + (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

4 \cdot \frac{2 \cdot x \cdot \ln (x) \cdot x + x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

\frac{4 \cdot (2 \cdot x \cdot \ln (x) \cdot x + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

- \frac{\frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Dividir uma fração por

x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

equivale a multiplicar o seu denominador por

x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

- \frac{\frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

- \frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

x^{x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1}

▶Derivada:

- \frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1}}