(2x+3)/(x-2)<= 5x-2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{2 x + 3}{x - 2} \leq 5 x - 2

2) Vamos somar as frações:

\frac{2 x + 3}{x - 2} - 5 x + 2 \leq 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2 x + 3}{x - 2} - 5 x

\frac{(2 x + 3) - 5 x \cdot (x - 2)}{x - 2}

\frac{(2 x + 3) - 5 x \cdot (x - 2)}{x - 2} + 2 \leq 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2)}{x - 2} + 2

\frac{(2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2)) + 2 \cdot (x - 2)}{x - 2}

\frac{(2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2)) + 2 \cdot (x - 2)}{x - 2} \leq 0

\frac{2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2)}{x - 2} \leq 0

Estudamos o sinal do numerador

Vamos estudar o sinal de

2 x

+ 3

- 5 x \cdot (x - 2)

+ 2 \cdot (x - 2)

resolvendo em

ℝ

2 x

+ 3

- 5 x \cdot (x - 2)

+ 2 \cdot (x - 2) \leq 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 5 x \cdot (x - 2)

- (5 x^{2} - 10 x)

2 \cdot (x - 2)

2 x - 4

2 x

+ 3

- (5 x^{2} - 10 x)

+ 2 x

- 4 \leq 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (5 x^{2} - 10 x)

- 5 x^{2} + 10 x

■Partimos de

3

e recuamos

4

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

3 - 4

-1

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x + 2 x

4 x

4 x

- 1

- 5 x^{2}

+ 10 x \leq 0

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

4 x + 10 x

14 x

14 x - 1 - 5 x^{2} \leq 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = -5

b = 14

c = -1

Δ = 14^{2} - 4 \cdot (-5) \cdot (-1)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

14^{2}

14 \cdot 14

196

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-4 \cdot (-5)

20

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

20 \cdot (-1)

-20

Δ = 196 - 20

ⓘ Partimos de

196

e recuamos

20

na reta numérica:

196 - 20

176

Δ = 176

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 14 - \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

x_{1} = \frac{- 14 - \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

176

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{176}

\sqrt{16 \cdot 11}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{11}

4 \cdot \sqrt{11}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 14 - 4 \cdot \sqrt{11}

- (14 + 4 \cdot \sqrt{11})

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-5)

-10

x_{1} = \frac{- (14 + 4 \cdot \sqrt{11})}{-10}

ⓘ Os sinais de menos do numerador e do denominador anulam-se:

\frac{- (14 + 4 \cdot \sqrt{11})}{-10}

\frac{14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

x_{1} = \frac{14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

x_{1} = \frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 14 + \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

x_{2} = \frac{- 14 + \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

176

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{176}

\sqrt{16 \cdot 11}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{11}

4 \cdot \sqrt{11}

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-5)

-10

x_{2} = \frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{-10}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{-10}

- (\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10})

x_{2} = - (\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10})

ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- (\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10})

\frac{14 - 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

x_{2} = \frac{14 - 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{14 - 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

x_{2} = \frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

O trinómio tem o sinal de a (

-5

) fora das suas raízes, pelo que é negativo fora delas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; \frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}] \cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

⇥Portanto, a expressão

2 x

+ 3

- 5 x \cdot (x - 2)

+ 2 \cdot (x - 2)

é negativa ou nula em

] -∞; \frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}] \cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

e positiva nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥A expressão

x - 2

anula-se em

x = 2

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

3) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}$		$2$		$\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}$		$+∞$
$2 x$ $+ 3$ $- 5 x \cdot (x - 2)$ $+ 2 \cdot (x - 2)$		-	0	+		+	0	-
$x - 2$		-		-	0	+		+
$\frac{2 x + 3}{x - 2} - (5 x - 2)$		+	0	-	❌	+	0	-

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

4) Vamos determinar o domínio de

\frac{2 x + 3}{x - 2} \leq 5 x - 2

Para que a expressão

\frac{2 x + 3}{x - 2}

esteja definida, é necessário:

x - 2 \neq 0

ⓘ Somamos

2

a ambos os membros

Restrições do domínio:

x \neq 2

▶Solução:

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

5) O valor numérico de:

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

é:

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \approx 3,3166}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \approx 3,3166}{5}; +∞ [

x \in [\frac{7 - \approx 6,6332}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + \approx 6,6332}{5}; +∞ [

x \in [\frac{\approx 0,3668}{5}; 2 [\cup [\frac{\approx 13,6332}{5}; +∞ [

▷

x \in [\approx 7,335 \times 10^{- 2}; 2 [\cup [\approx 2,7266; +∞ [