(3x^2-2x)/(3x+2)<=-2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x + 2} \leq -2

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x + 2}

\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2}

\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2} \leq -2

2) Vamos somar as frações:

\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2} + 2 \leq 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2} + 2

\frac{x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)}{3 x + 2}

\frac{x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)}{3 x + 2} \leq 0

Estudamos o sinal do numerador

Vamos estudar o sinal de

x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)

resolvendo em

ℝ

x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2) \leq 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

x \cdot (3 x - 2)

3 x^{2} + x \cdot (-2)

2 \cdot (3 x + 2)

6 x + 4

3 x^{2}

+ x \cdot (-2)

+ 6 x

+ 4 \leq 0

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

x \cdot (-2)

- 2 x

3 x^{2}

- 2 x

+ 6 x

+ 4 \leq 0

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 2 x + 6 x

4 x

3 x^{2} + 4 x + 4 \leq 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 3

b = 4

c = 4

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

Δ = 16 - 12 \cdot 4

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

Δ = 16 - 48

ⓘ Partimos de

16

e recuamos

48

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

16 - 48

-32

Δ = -32

O trinómio não tem raízes reais: tem sempre o sinal de a (

3

), pelo que nunca é negativo.

Solução:

x \in \emptyset

⇥Portanto, a expressão

x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)

é sempre positiva

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥A expressão

3 x + 2

anula-se em:

⇥

x = - \frac{2}{3}

⇥Como o seu coeficiente de

x

3

, é positivo, é negativa antes e positiva depois de

- \frac{2}{3}

(valor excluído)

3) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$- \frac{2}{3}$		$+∞$
$x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)$		+		+
$3 x + 2$		-	0	+
$\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2} + 2$		-	❌	+

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x < - \frac{2}{3}

4) Vamos determinar o domínio de

\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x + 2} \leq -2

Para que a expressão

\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x + 2}

esteja definida, é necessário:

3 x + 2 \neq 0

ⓘ Subtraímos

2

a ambos os membros

3 x \neq -2

ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

Restrições do domínio:

x \neq - \frac{2}{3}

▶Solução:

x < - \frac{2}{3}

5) O valor numérico de:

x < - \frac{2}{3}

vale:

▷

x < -0,6667 (valor aproximado)