(4x)/(x-1)<= x/(x+6)+4 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{4 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 6} + 4

2) Vamos somar as frações:

\frac{4 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 6} - 4 \leq 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{4 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 6}

\frac{4 x \cdot (x + 6) - x \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

\frac{4 x \cdot (x + 6) - x \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x + 6)} - 4 \leq 0

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{4 x \cdot (x + 6) - x \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1))}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1))}{(x - 1) \cdot (x + 6)} - 4

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1)) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1)) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)}{(x - 1) \cdot (x + 6)} \leq 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x - 1)

- x + 1

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)}{(x - 1) \cdot (x + 6)} \leq 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥2.1) Vamos estudar o sinal de

x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)

resolvendo em

ℝ

x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

4 \cdot (x + 6)

4 x + 24

x \cdot ((4 x + 24) - x + 1)

x \cdot (4 x + 24) + x \cdot (- x) + x

4 \cdot (x - 1)

4 x - 4

⇥

x \cdot (4 x + 24)

+ x \cdot (- x)

+ x

- (4 x - 4) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

x \cdot (- x)

- x \cdot x

⇥

x \cdot (4 x + 24)

- x \cdot x

+ x

- (4 x - 4) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

⇥

x \cdot (4 x + 24)

- x^{2}

+ x

- (4 x - 4) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

x \cdot (4 x + 24)

4 x^{2} + x \cdot 24

- (4 x - 4) \cdot (x + 6)

- (4 \cdot x \cdot x

+ 4 x \cdot 6

- 4 x

- 4 \cdot 6)

⇥

4 x^{2}

+ x \cdot 24

- x^{2}

+ x

- (4 \cdot x \cdot x

+ 4 x \cdot 6

- 4 x

- 4 \cdot 6) \leq 0

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

4 x^{2} + x \cdot 24 - x^{2}

3 x^{2} + 24 x

24 x + x

25 x

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (4 \cdot x \cdot x

+ 4 x \cdot 6

- 4 x

- 4 \cdot 6)

- 4 \cdot x \cdot x

- 4 x \cdot 6

+ 4 x

+ 4 \cdot 6

⇥

3 x^{2}

+ 25 x

- 4 \cdot x \cdot x

- 4 x \cdot 6

+ 4 x

+ 4 \cdot 6 \leq 0

⇥ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 6

24

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

25 x + 4 x

29 x

⇥

3 x^{2}

+ 29 x

- 4 x^{2}

- 24 x

+ 24 \leq 0

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

3 x^{2} - 4 x^{2}

- x^{2}

29 x - 24 x

5 x

⇥

- x^{2} + 5 x + 24 \leq 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = -1

b = 5

c = 24

⇥

Δ = 5^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot 24

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 25 + 4 \cdot 24

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 24

4 \cdot (20 + 4)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 4

80 + 16

96

⇥

Δ = 25 + 96

⇥ⓘ Partimos de

25

e avançamos

96

na reta numérica:

25 + 96

121

⇥

Δ = 121

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{1} = \frac{- 5 - \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{121}

11

pois

11^{2}

121

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{1} = \frac{- 5 - 11}{-2}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{- 5 - 11}{-2}

- (\frac{- 5 - 11}{2})

⇥

x_{1} = - (\frac{- 5 - 11}{2})

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 5 - 11

-16

⇥

x_{1} = - (\frac{-16}{2})

⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-16}{2})

\frac{16}{2}

⇥

x_{1} = \frac{16}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{16}{2}

8

⇥

x_{1} = 8

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{121}

11

pois

11^{2}

121

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{2} = \frac{- 5 + 11}{-2}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{- 5 + 11}{-2}

- (\frac{- 5 + 11}{2})

⇥

x_{2} = - (\frac{- 5 + 11}{2})

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 5 + 11

6

⇥

x_{2} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{2} = -3

⇥O trinómio tem o sinal de a (

-1

) fora das suas raízes, pelo que é negativo fora delas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; -3] \cup [8; +∞ [

⇥Portanto, a expressão

x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)

é negativa ou nula em

] -∞; -3] \cup [8; +∞ [

e positiva nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥2.2) Vamos resolver em

ℝ

(x - 1) \cdot (x + 6) < 0

⇥Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥⇥A expressão

x - 1

anula-se em

x = 1

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

⇥⇥A expressão

x + 6

anula-se em

x = -6

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

3) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-6$		$-3$		$1$		$8$		$+∞$
$x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)$		-		-	0	+		+	0	-
$x - 1$		-		-		-	0	+		+
$x + 6$		-	0	+		+		+		+
$\frac{4 x}{x - 1} - (\frac{x}{x + 6} + 4)$		-	❌	+	0	-	❌	+	0	-

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; -6 [\cup [-3; 1 [\cup [8; +∞ [

4) Vamos determinar o domínio de

\frac{4 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 6} + 4

Para que a expressão

\frac{4 x}{x - 1}

esteja definida, é necessário:

x - 1 \neq 0

Para que a expressão

\frac{x}{x + 6}

esteja definida, é necessário:

x + 6 \neq 0

5) Vamos resolver em

ℝ

x - 1 \neq 0

ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

Solução encontrada:

x \neq 1

6) Vamos resolver em

ℝ

x + 6 \neq 0

ⓘ Subtraímos

6

a ambos os membros

Solução encontrada:

x \neq -6

Vamos construir o quadro das diferentes soluções para encontrar a solução global:

x	$-∞$		$-6$		$1$		$+∞$
$x - 1 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
$x + 6 \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
Domínio de definição:		✅	❌	✅	❌	✅

Restrições do domínio:

x \in ℝ \ {-6; 1}

▶Solução:

x \in] -∞; -6 [\cup [-3; 1 [\cup [8; +∞ [