(5x+5)/6-1<(19x+1)/3-(8x+1)/4 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{5 x + 5}{6} - 1 < \frac{19 x + 1}{3} - \frac{8 x + 1}{4}

ⓘ Uma fração cujo numerador é uma soma separa-se termo a termo:

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

, para

c \neq 0

- \frac{8 x + 1}{4}

- (2 x + \frac{1}{4})

ⅰ

\frac{5 x + 5}{6} - 1

\frac{(5 x + 5) + 6 \cdot (-1)}{6}

\frac{(5 x + 5) + 6 \cdot (-1)}{6} < \frac{19 x + 1}{3} - (2 x + \frac{1}{4})

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

6 \cdot (-1)

-6

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 x + \frac{1}{4})

- 2 x - \frac{1}{4}

\frac{5 x + 5 - 6}{6} < \frac{19 x + 1}{3} - 2 x - \frac{1}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

5 - 6

-1

ⅰ

\frac{19 x + 1}{3} - 2 x

\frac{(19 x + 1) + 3 \cdot (- 2 x)}{3}

\frac{5 x - 1}{6} < \frac{(19 x + 1) + 3 \cdot (- 2 x)}{3} - \frac{1}{4}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

3 \cdot (-2)

-6

\frac{5 x - 1}{6} < \frac{19 x + 1 - 6 x}{3} - \frac{1}{4}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

19 x - 6 x

13 x

\frac{5 x - 1}{6} < \frac{13 x + 1}{3} - \frac{1}{4}

2) Vamos somar as frações:

\frac{5 x - 1}{6} - \frac{13 x + 1}{3} + \frac{1}{4} < 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{5 x - 1}{6} - \frac{13 x + 1}{3}

\frac{(5 x - 1) - (13 x + 1) \cdot 2}{6}

\frac{(5 x - 1) - (13 x + 1) \cdot 2}{6} + \frac{1}{4} < 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2}{6} + \frac{1}{4}

\frac{(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3}{6 \cdot 2}

\frac{(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3}{6 \cdot 2} < 0

ⅰ

6 \cdot 2

12

\frac{(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3}{12} < 0

Vamos estudar o sinal de

(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3

resolvendo em

ℝ

(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3 < 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (13 x + 1) \cdot 2

- (26 x + 2)

(5 x - 1 - (26 x + 2)) \cdot 2

10 x - 2 - (26 x + 2) \cdot 2

10 x

- 2

- (26 x + 2) \cdot 2

+ 3 < 0

ⓘ Partimos de

-2

e avançamos

3

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 2 + 3

1

10 x + 1 - (26 x + 2) \cdot 2 < 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (26 x + 2) \cdot 2

- (52 x + 4)

10 x + 1 - (52 x + 4) < 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (52 x + 4)

- 52 x - 4

10 x

+ 1

- 52 x

- 4 < 0

ⓘ Partimos de

1

e recuamos

4

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 4

-3

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

10 x - 52 x

-42 x

- 42 x - 3 < 0

ⓘ Somamos

3

a ambos os membros

- 42 x < 3

Dividimos ambos os membros por

-42

, que é negativo, pelo que invertemos o sentido da desigualdade

x > \frac{3}{-42}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{3}{-42}

- \frac{3}{42}

x > - \frac{3}{42}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{3}{42}

- \frac{1 \cdot 3}{14 \cdot 3}

- \frac{1}{14}

Solução encontrada:

x > - \frac{1}{14}

⇥Portanto, a expressão

(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3

é negativa em

] - \frac{1}{14}; +∞ [

e positiva ou nula nos restantes pontos

▶Solução encontrada:

x > - \frac{1}{14}

3) O valor numérico de:

x > - \frac{1}{14}

é:

▷

x > -7,1429 \times 10^{- 2} (valor aproximado)