(dy)/(dx)+2xy=4x — solução passo a passo

⚠ xy é interpretado como o produto x*y: para a variável xy, escreva xy_■(dy)/(dx)+2xy=4x é interpretado como y'+2xy=4x: utilize dif(expression, variable) para uma derivada em relação a essa variável, utilize (numerador)/(denominador) para um quociente

Vamos resolver a equação linear

y' + 2 x y = 4 x

, onde

y

é uma função de

x

. Os coeficientes polinomiais são contínuos em ℝ

A forma

y' + p y = q

dá

p = 2 x

q = 4 x

⇥1) Vamos integrar:

\int 2 x d x

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 2 x d x

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{2 x^{2}}{2}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 x^{2}}{2}

x^{2}

⇥

x^{2}

O fator integrante exp(∫p) vale

\exp (x^{2})

e é estritamente positivo em ℝ

Multiplicando por este fator, a regra do produto dá

{(\exp (x^{2}) y)}^{'}

4 x \exp (x^{2})

⇥2) Vamos calcular a integral:

\int 4 x \exp (x^{2}) d x

⇥Fazemos

u = x^{2}

. Então

du = 2 x \cdot dx

, pelo que

4 x \cdot dx = 2 du

⇥

\int 4 x \exp (x^{2}) d x = 2 \cdot \int \exp (u) d u

⇥Uma primitiva de

\exp (u)

\exp (u)

⇥Substituímos

u

por

x^{2}

na primitiva

⇥ⅰ

\int 4 x \exp (x^{2}) d x

2 \exp (x^{2})

⇥

2 \exp (x^{2})

Integrando,

\exp (x^{2}) y = 2 \exp (x^{2}) + C

. Dividimos pelo fator, que nunca se anula;

C

é uma constante real arbitrária, incluindo zero

▶Solução:

y = 2 + \frac{C}{\exp (x^{2})}