(dy)/(dx)+3y=40 — solução passo a passo

⚠ (dy)/(dx)+3y=40 é interpretado como y'+3y=40: utilize dif(expression, variable) para uma derivada em relação a essa variável, utilize (numerador)/(denominador) para um quociente

Vamos resolver a equação linear

y' + 3 y = 40

, onde

y

é uma função de

x

. Os coeficientes polinomiais são contínuos em ℝ

A forma

y' + p y = q

dá

p = 3

q = 40

⇥1) Vamos calcular a integral:

\int 3 d x

⇥ⓘ A derivada de

3 x

3

, pelo que

3 x

é uma primitiva de

3

\int 3 d x

3 x

⇥

3 x

O fator integrante exp(∫p) vale

\exp (3 x)

e é estritamente positivo em ℝ

Multiplicando por este fator, a regra do produto dá

{(\exp (3 x) y)}^{'}

40 \exp (3 x)

⇥2) Vamos integrar:

\int 40 \exp (3 x) d x

⇥Para a expressão matemática

40 \exp (3 x)

, sabendo que (exp(a))' = a'*exp(a), tentamos derivar

\exp (3 x)

⇥3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\exp (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \exp (f)

com f =

3 x

⇥ⓘ A derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

⇥

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

⇥

3 \exp (3 x)

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

40 \exp (3 x)

, pelo que

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

é uma primitiva de

40 \exp (3 x)

\int 40 \exp (3 x) d x

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

⇥

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

\frac{40 \exp (3 x)}{3}

⇥

\frac{40 \exp (3 x)}{3}

Integrando,

\exp (3 x) y = \frac{40 \exp (3 x)}{3} + C

. Dividimos pelo fator, que nunca se anula;

C

é uma constante real arbitrária, incluindo zero

▶Solução:

y = \frac{40}{3} + \frac{C}{\exp (3 x)}