(ln(1+x))^2+2ln(1+x)>0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

{\ln (1 + x)}^{2} + 2 \cdot \ln (1 + x) > 0

Podemos fatorizar a expressão

{\ln (x + 1)}^{2} + 2 \cdot \ln (x + 1)

como

\ln (x + 1) \cdot (\ln (x + 1) + 2)

Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥1.1) Vamos estudar o sinal de

\ln (x + 1)

alargando a comparação a ≥ e resolvendo em

ℝ

\ln (x + 1) \geq 0

⇥Podemos aplicar a função exp a ambos os membros:

⇥

e^{\ln (x + 1)} \geq e^{0}

⇥ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x + 1)}

x + 1

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

⇥

x + 1 \geq 1

⇥ⓘ Subtraímos

1

a ambos os membros

⇥

x \geq 1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \geq 0

⇥Portanto, a expressão

\ln (x + 1)

é positiva ou nula em

[0; +∞ [

e negativa nos restantes pontos

⇥1.2) Vamos estudar o sinal de

\ln (x + 1) + 2

alargando a comparação a ≥ e resolvendo em

ℝ

\ln (x + 1) + 2 \geq 0

⇥Podemos aplicar a função exp a ambos os membros:

⇥

e^{\ln (x + 1)} \geq e^{-2}

⇥ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x + 1)}

x + 1

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

e^{-2}

\frac{1}{e^{2}}

⇥

x + 1 \geq \frac{1}{e^{2}}

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \geq \frac{1}{e^{2}} - 1

⇥Portanto, a expressão

\ln (x + 1) + 2

é positiva ou nula em

[\frac{1}{e^{2}} - 1; +∞ [

e negativa nos restantes pontos

2) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$\frac{1}{e^{2}} - 1$		$0$		$+∞$
$\ln (x + 1)$		-		-	0	+
$\ln (x + 1) + 2$		-	0	+		+
${\ln (1 + x)}^{2} + 2 \cdot \ln (1 + x)$		+	0	-	0	+

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; \frac{1}{e^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

3) Vamos procurar o domínio de

{\ln (1 + x)}^{2} + 2 \cdot \ln (1 + x) > 0

Para que a expressão

\ln (1 + x)

esteja definida, é necessário:

1 + x > 0

ⓘ Subtraímos

1

a ambos os membros

Restrições do domínio:

x > -1

▶Solução:

x \in] -1; \frac{1}{e^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

4) O valor numérico de:

x \in] -1; \frac{1}{e^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

vale:

x \in] -1; \frac{1}{{\approx 2,7183}^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; \frac{1}{\approx 7,3891} - 1 [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; \frac{1 - 1 \cdot \approx 7,3891}{\approx 7,3891} [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; \frac{1 - \approx 7,3891}{\approx 7,3891} [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; - \frac{\approx 6,3891}{\approx 7,3891} [\cup] 0; +∞ [

▷

x \in] -1; \approx -0,8647 [\cup] 0; +∞ [