(x+1)^2=2(x-1)^2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

{(x + 1)}^{2} = 2 \cdot {(x - 1)}^{2}

{(x + 1)}^{2} - 2 \cdot {(x - 1)}^{2} = 0

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(x + 1)}^{2}

(x + 1) \cdot (x + 1)

{(x - 1)}^{2}

(x - 1) \cdot (x - 1)

(x + 1) \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x - 1) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(x + 1) \cdot (x + 1)

x \cdot x

+ x \cdot 1

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot 1

2 \cdot (x - 1)

2 x - 2

x \cdot x

+ x \cdot 1

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot 1

- (2 x - 2) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

1 \cdot 1

1

x^{2}

+ x

+ x

+ 1

- (2 x - 2) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x + x

2 x

x^{2}

+ 2 x

+ 1

- (2 x - 2) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (2 x - 2) \cdot (x - 1)

- (2 \cdot x \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 2 x

- 2 \cdot (-1))

x^{2}

+ 2 x

+ 1

- (2 \cdot x \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 2 x

- 2 \cdot (-1)) = 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 \cdot x \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 2 x

- 2 \cdot (-1))

- 2 \cdot x \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 2 x

+ 2 \cdot (-1)

x^{2}

+ 2 x

+ 1

- 2 \cdot x \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 2 x

+ 2 \cdot (-1) = 0

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-2 \cdot (-1)

2

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x + 2 x

4 x

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

x^{2}

+ 4 x

+ 1

- 2 x^{2}

+ 2 x

- 2 = 0

ⓘ Partimos de

1

e recuamos

2

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 2

-1

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x^{2} - 2 x^{2}

- x^{2}

4 x + 2 x

6 x

- x^{2} + 6 x - 1 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-1

x^{2} - 6 x + 1 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -6

c = 1

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4

ⓘ Partimos de

36

e recuamos

4

na reta numérica:

36 - 4

32

Δ = 32

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{32}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{32}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

32

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{32}

\sqrt{16 \cdot 2}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}

4 \cdot \sqrt{2}

x_{1} = \frac{6 - 4 \cdot \sqrt{2}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 - 4 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (3 - 2 \cdot \sqrt{2})}{2}

3 - 2 \cdot \sqrt{2}

x_{1} = 3 - 2 \cdot \sqrt{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{32}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{32}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

32

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{32}

\sqrt{16 \cdot 2}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}

4 \cdot \sqrt{2}

x_{2} = \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{2}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 + 4 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (3 + 2 \cdot \sqrt{2})}{2}

3 + 2 \cdot \sqrt{2}

x_{2} = 3 + 2 \cdot \sqrt{2}

▶Soluções obtidas:

x = {3 - 2 \cdot \sqrt{2}; 3 + 2 \cdot \sqrt{2}}

2) O valor numérico de:

x = {3 - 2 \cdot \sqrt{2}; 3 + 2 \cdot \sqrt{2}}

é:

x = {\approx 3 - 2 \cdot 1,4142; \approx 3 + 2 \cdot 1,4142}

x = {\approx 3 - 2,8284; \approx 3 + 2,8284}

▷

x = {\approx 0,1716; \approx 5,8284}