(x-1)/(x+3)>(x-4)/(x+2) — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{x - 1}{x + 3} > \frac{x - 4}{x + 2}

2) Vamos somar as frações:

\frac{x - 1}{x + 3} - \frac{x - 4}{x + 2} > 0

ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{x - 4}{x + 2}

\frac{- x + 4}{x + 2}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{- x + 4}{x + 2}

\frac{(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)}{(x + 3) \cdot (x + 2)}

\frac{(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)}{(x + 3) \cdot (x + 2)} > 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥2.1) Vamos estudar o sinal de

(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)

resolvendo em

ℝ

(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3) > 0

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(x - 1) \cdot (x + 2)

x \cdot x

+ x \cdot 2

- 1 \cdot x

- 1 \cdot 2

(- x + 4) \cdot (x + 3)

- x \cdot x

- x \cdot 3

+ 4 x

+ 4 \cdot 3

⇥

x \cdot x

+ x \cdot 2

- 1 \cdot x

- 1 \cdot 2

- x \cdot x

- x \cdot 3

+ 4 x

+ 4 \cdot 3 > 0

⇥ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot x

x

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

1 \cdot 2

2

4 \cdot 3

12

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x \cdot 2

- x \cdot x

- x \cdot 3

+ 4 x

3 x - x^{2}

⇥

x^{2}

+ 3 x

- x

- 2

- x^{2}

+ 12 > 0

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

3 x - x

2 x

x^{2} - x^{2}

0

■Partimos de

-2

e avançamos

12

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 2 + 12

10

⇥

0 + 2 x + 10 > 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 2 x

2 x

⇥

2 x + 10 > 0

⇥ⓘ Subtraímos

10

a ambos os membros

⇥

2 x > -10

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

x > - \frac{10}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{10}{2}

-5

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x > -5

⇥Portanto, a expressão

(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)

é positiva em

] -5; +∞ [

e negativa ou nula nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥2.2) Vamos resolver em

ℝ

(x + 3) \cdot (x + 2) > 0

⇥Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥⇥A expressão

x + 3

anula-se em

x = -3

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

⇥⇥A expressão

x + 2

anula-se em

x = -2

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

3) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-5$		$-3$		$-2$		$+∞$
$(x - 1) \cdot (x + 2) + (- x + 4) \cdot (x + 3)$		-	0	+		+		+
$x + 3$		-		-	0	+		+
$x + 2$		-		-		-	0	+
$\frac{x - 1}{x + 3} - \frac{x - 4}{x + 2}$		-	0	+	❌	-	❌	+

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -5; -3 [\cup] -2; +∞ [

4) Vamos determinar o domínio de

\frac{x - 1}{x + 3} > \frac{x - 4}{x + 2}

Para que a expressão

\frac{x - 1}{x + 3}

esteja definida, é necessário:

x + 3 \neq 0

Para que a expressão

\frac{x - 4}{x + 2}

esteja definida, é necessário:

x + 2 \neq 0

5) Vamos resolver em

ℝ

x + 3 \neq 0

ⓘ Subtraímos

3

a ambos os membros

Solução encontrada:

x \neq -3

6) Vamos resolver em

ℝ

x + 2 \neq 0

ⓘ Subtraímos

2

a ambos os membros

Solução obtida:

x \neq -2

Vamos construir o quadro das diferentes soluções para encontrar a solução global:

x	$-∞$		$-3$		$-2$		$+∞$
$x + 3 \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
$x + 2 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
Domínio de definição:		✅	❌	✅	❌	✅

Restrições do domínio:

x \in ℝ \ {-3; -2}

▶Solução:

x \in] -5; -3 [\cup] -2; +∞ [